組み合わせ

質問

どうしても分からないので、教えて下さい。

問題）20箇所の場所の中から6箇所選ぶ方法は何通りあるか？
　　　数え上げでなく、数式的に答えよ。　　　
　　　ただし、周期性を含めて考え、見方によっては等価な選び方だと
　　　見なせる選び方は、同じ選び方とする。

意味分からないですよね。うまく説明できなくて、すいません。
どういうことかというと、例で説明します。

例１）
○○○　の３箇所から１箇所選ぶ方法は１通り。

●○○、○●○、○○●　この組み合わせは全部下の組み合わせに帰着するので

・・・・○●○○●○○●・・・・

１通りです。

例２）
○○○○○○○○ の8箇所から4箇所選ぶことを考えるとき

○○●●●○●○　→　・・・○○●●●○●○○○●●●○●○・・・・

○○●○●●●○　→　・・・○○●○●●●○○○●○●●●○・・・・

上の２つの選び方は、同じ選び方。
画面に対して表裏逆に見れば(or 180度回転させれば）、
同じ組み合わせ。

ちなみに、
○○○○○○○○○○　の10箇所から6箇所選ぶ方法は
16通りです。（たぶん。）

よろしくお願いします。

回答No.7

kony0 · ベストアンサー

同じ手法で20個中12個を選んでみましょう。
これは円順列が一段と難しいです。○12個と●8個を並べるのですが、GCM(12,8)=4であることから、1列に並べる並べ方20C12のうち、周期10×2周のものと、周期5×4周のものがあります。
・周期5×4周・・・5C3=10通り→円順列: 10/5=2個
・周期10×2周・・・10C6-5C3=200通り→円順列: 200/10=20個
・周期20×1周・・・20C12-10C6=125,760通り→円順列: 125,760/20=6,288個
よって、円順列の合計は6,310個あります。

さて、このうち裏返しても同じになる円順列の個数を求めましょう。
同じく軸に○or●がくるそれぞれの場合を考えて、
1)軸に○がくる場合・・・あと右半分に○5個と●4個を並べます。（9C5通り=126通り）
そのうち、これら9個自身が左右対称になるのは、真中に○があって、あと○2個と●2個を並べる4C2=6通り
よって、軸が○である、裏返しても同じ円順列は(126-6)/2 + 6=66個あります。
2)軸に●がくる場合・・・あと右半分に○6個と●3個を並べます。（9C6=84通り）
そのうち、これら9個自身が左右対称になるのは、真中に●があって、あと○3個と●1個を並べる4C3=4通り
よって、軸が●である、裏返しても同じ円順列は(84-4)/2 + 4=44個あります。
1)2)より、裏返しても同じ円順列は110個。残りの6200個は裏返すと同じになる円順列のペアがあることになるので、求める個数は6200/2 + 110 = 3,210個・・・（答）

うーん、#6の考え方自身に間違いがあるとどうしようもないのですが、一旦これで回答といたします。

回答No.1

oshiete_goo

ｎ個で輪を作って，回転によって重ねあわせることができるものは同じと見る（これだけなら円順列）だけでなく，裏返して重なるものも同じと見る，いわゆる数珠(じゅず)順列の問題のようですね．
計算は他の方にお任せします．

お礼

僕も数珠順列だということまでは、わかったのですが
そこから先が難しいんですよね。回答ありがとうございます。