直和の証明

質問

ｎ次複素正方行列A1,・・・Arが次を満たしているとする。
(1)En=A1+...Ar
(2)i=jでないならAiAj=O
(3)Ai^2=Ai (i=1...r)
このとき
Wi={Y|あるX(XはC^nに属する)があってY=AiX} (i=1...r)
とおく。

このときにC^n＜W1+W2+...+Wrであることを示したいのですがわかりません。どなたかおしえてください。

回答No.2

kabaokaba

＜は包含関係のことでしょ．⊂か⊆と解釈すべき　
そもそも質問タイトルに直和ってあるしね
＃もっとも質問そのものの仕方と表記が悪いのは間違いない

で，この問題は射影というか射影による空間の分解の定義だね．
このようなAiによる線型写像を射影っていうんだ．

まず，W1+・・・+WrがC^n全体になること
これは条件(1)から自明
だって，x=Ex=A1x+・・・Arxだから
直和であること
異なるi,jに対してWi∩Wjが空集合であることをいえばよい
y=Aixi=Ajxjとすると
y=AiyとAix=0であることを示せばいい．
(2)と(3)から示せる
これでC^nが各Aiの像で直和分解できることを示したことになる．

回答No.1

guuman

C^n＜W1+W2+...+Wr
の定義を書け
集合に不等号をつけているがどういうことか