圧力勾配の式

質問

流体の運動方程式の中の、圧力勾配の項を状態方程式　p/ρ^γ＝const の式を使い、

　-1/ρ∇ｐ＝　－γp/ρ・1/ρ∇ρ

となっていたのですが、数学が苦手でどう変形したのかわかりません。どう変形したか教えてください。
また、状態方程式が、p　＝　ρRT　の場合、上の式と似たような感じにするとどうなりますか。教えてください。

P:圧力　ρ：密度　γ：比熱比　Ｒ：気体定数

回答No.1

oshiete_goo · ベストアンサー

-1/ρ∇ｐ＝　－γp/ρ・1/ρ∇ρ
⇔∇ｐ＝　γp/ρ∇ρ　・・・(＊)

の左辺に p=Kρ^γ (K:定数)を代入して
∇ｐ＝∇(Kρ^γ)＝K∇ρ^γ＝Kγρ^(γ-1)∇ρ＝γ(Kρ^γ)(1/ρ)∇ρ＝γ(p/ρ)∇ρ
などとやってもできるのでしょうが,

普通は，最初から対数微分で
p=Kρ^γ (K:定数)の両辺の対数をとってから"微分"すると
ln(p)＝ln(K)+γln(ρ)
∇ln(p)＝∇{ln(K)+γln(ρ)}＝0＋γ∇ln(ρ)
(∇p)／p＝γ(∇ρ)／ρ
∇p＝γ(p／ρ)∇ρ　[(＊)が得られた]
などとやるんでしょうね．

タイプミス等気をつけてお読みください．
また，Tは定数でいいのなら同様にできそう．

お礼

詳しい説明ありがとうございます。とてもわかりやすかったです。T が変数の場合だとどうなるんでしょうか。自分でもやってみますが、参考にしたいのでできればお答え願います。