独占企業の利潤最大化問題
市場の需要関数y=D(p),逆需要関数p=G(y)と表すことにすると、逆需要関数は生産量をyとしたとき、これをすべて売り切ることのできる一番高い価格がG(y)であることを示しています。この独占企業の費用関数をC=C(y)としたとき、この企業の利潤は販売収入pyから生産費用C(y)を引いたものになります。ここでpは生産量yをすべて売り切ることのできる一番高い価格G(y)でなければなりませんから。企業の利潤πはπ=G(y)y-C(y)と表すことができます。独占企業は、この利潤πを最大にするように生産量yを決めることになります。Max(y) π(y)≡G(y)y-C(y) の解のyが独占企業の利潤を最大化する生産量になります。この問題の最適解の1階の条件は、右辺をyで微分して0とおくことです。(dπ/dy)=G(y)+y{dG(y)/dy}-{dC(y)/dy}=0ここからがわからない計算です。
このとき右辺の第2項は、y=D(p)の逆関数がp=G(y)ですから、
{dG(y)/dy}={1/dD(p)/dp}・・・(☆)となります。なぜならy=D(p)とp=G(y)よりそれぞれの微分は、dy={dD(p)/dp}dp,dp={dG(y)/dy}dy・・・(1)となり、これらの式はそれぞれ(dy/dp)={1/(dG(y)/dy)},(dy/dp)=(dD(y)/dp)・・・(2)と変形できゆえに、
dG(y)/dy={1/(dD(p)/dp)}・・・(3)となるからです。本ではこの後、需要の価格弾力性についての解説がつづきます。(1)から(3)に至る計算がわかりません。(1)から(2)の計算は、dy=dD(p)としてこれを代入してみたり、dy/dp={dD(p)/dp}={1/dG(y)/dy}は逆関数の導関数の公式から作れると思いましたが、もう一方の式を導けませんでした。また(2)の後者の式はdD(y)はdD(p)の間違いかと思いました。☆の
{dG(y)/dy}={1/dD(p)/dp}が逆関数の導関数の公式を使った計算かどうか、または(1)から(3)に至る計算を教えてくださいお願いします。
お礼
本を読んでしっかり勉強してみます☆ ありがとうございました^^