平面上にn点があるとき、それらを閉じた一筆書きで結べるか?

質問

平面上にn点があるとき、それらを自己交差のない閉じた折れ線（一筆書きみたいな感じ）で結べるのでしょうか？

つまり、ある多角形の頂点とすることができるのでしょうか？

回答No.3

sanori · ベストアンサー

またまた、お邪魔します。

その後、頭の中で何となく考えていたんですが、
＃１の回答の最後のほうに余計なことを書いてしまったかも、です。
３点以上が１直線状に並んだ場合、１８０度の角が出現することが不可避な状況が存在するかもしれません。
（単純にθの順番に結べば、必ず１８０度の角ができてしまいますので、直線状にない他の点も仲間に入れてθの順序を守らずに結線することになるのですが、辺同士が交差せずに結ぶことがどうしても成り立たない状況がありそうです。）

その点、訂正させてください。

なお、
＃２のお礼文に書かれた、立体に関することについてですが、
私にとって難しすぎて、回答できません。
ご容赦を。

回答No.2

sanori

再び登場。
こんばんは。

最後の点と最初の点を結べば完成です。

たとえば一例として、
各点の極座標（ｒ、θ）が
(3, 0), (10, 60), (5, 120), (20, 180), (5, 240), (30, 300)
であるとき、
最後に、０度の点である（３，０）と３００度の点である（３０，３００）とを結べば、閉じた一筆書きが完成します。

＞＞＞
出発点と、最終点を結ぶと閉じていることはどうやって分かるのでしょうか?

出発点を（３，０）以外にしても同じことです。
たとえば、
(20, 180), (5, 240), (30, 300), (3, 0), (10, 60), (5, 120)
の順番に結んでも、同じ結果になりますので。

お礼

ありがとうございます。
n≧3として、
平面上のn点を、Yの字型の境界を持つ領域に、０個の点を持つ領域がないようにわけれるように平行・回転移動すればよさそうです。

確かにできそうですね。

これで十分満足なのですが、もし、興味があれば。

空間にn点があるとき、それらを自己交差のない閉じた多面体で結べるのでしょうか？
つまり、ある閉多面体の頂点とすることができるのでしょうか？

回答No.1

sanori

こんばんは。

Ｘ－Ｙ座標系にそれらの点をプロットするとき、
・ｙ≦０の領域のみ
・ｙ≧０の領域のみ
・ｘ≦０の領域のみ
・ｘ≧０の領域のみ
という偏りを避けてプロットすることは、常に可能です。
偏りがあれば、全点を平行移動すればよいだけです。

それらの座標は、（ｘ、ｙ）→（ｒ、θ）に変換することができます。
θの大小の順番に結線していけば、交差せずに全ての点を結ぶことができます。

θが同一の点が２個あれば、どちらを先にしてもよいです。

θが同一の点が３個以上あれば、ｒが小さい順あるいはｒが大きい順に結線すればよいだけです。
このとき、それらの点は１つの直線上に並び、端を除いた点における角度は１８０度になります。
「１８０度では、多角形の１つの角とは言えないからダメ」
という条件があるのであれば、全体を少しだけ平行移動すればよいです。
１８０度の角が現れず、かつ、他の条件も満たす平行移動のやり方は、必ず存在します。

よって、答えは、Ｙｅｓ　です。

お礼

すみません、そういった書き方は閉じているのでしょうか？

出発点と、最終点を結ぶと閉じていることはどうやって分かるのでしょうか?