式変形

質問

t=tan(x/2)として、
-log|1-t|+log|1+t|
=log{(1+sinx)/|cosx|}
に、どうしてなるのかわかりません。

途中式も詳しく教えていただけると助かります。

回答No.3

take_5 · ベストアンサー

x/2＝θと置く。真数条件から、0＜x＜π、x≠π/2であるから、0＜θ＜π/2、θ≠π/4.
-log|1-t|+log|1+t|＝log{｜1+t｜/｜1-t｜}であるから、{}の中を考える。
{｜1+t｜/｜1-t｜}＝{｜1+tanθ｜/｜1-tanθ｜}＝{｜（cosθ＋sinθ）/（cosθ-sinθ）｜}＝{｜（cosθ＋sinθ）＾2/（cosθ＋sinθ）*（cosθ-sinθ）｜}＝{｜1+sin2θ｜/｜cos2θ｜}＝{｜1+sinx｜/｜cosx｜}
ところが、0＜x＜πより｜1+sinx｜＝1+sinxであるから、{（1+sinx）/｜cosx｜}

お礼

わかりやすかったです、ありがとうございます。

回答No.2

info22

t=tan(x/2)より
(1+t)/(1-t)=(1+t)^2/(1-t^2)
={1+(tan(x/2))^2+2tan(x/2)}/{1-(tan(x/2))^2}
={1/(cos(x/2))^2+2sin(x/2)/cos(x/2)}/[{(cos(x/2))^2-(sin(x/2))^2}/{cos(x/2)}^2]
={1+2sin(x/2)cos(x/2)}/{(cos(x/2))^2-(sin(x/2))^2}
={1+sin(x)}/cos(x)
∴|(1+t)/(1-t)|={1+sin(x)}/|cos(x)|
このlogをとれば良いですね。

回答No.1

incd

t=tan(x/2) とおくと、

tan(x) = 2t/(1-t^2),
cos(x) = (1-t^2)/(1+t^2),
sin(x) = 2t/(1+t^2)

と書けます。
なぜなら、
倍角の公式（あるいは加法定理）により
cos(2x) = cos^2(x) - sin^2(x)
sin(2x) = 2sin(x) cos(x)
なので、
tan(2x) = 2sin(x) cos(x)/[cos^2(x) - sin^2(x)]
= 2tan(x)/(1-tan^2(x)) * 分母子をcos^2(x)で割る
よって
tan(x) = 2t/(1-t^2).

cos(2x) = cos^2(x) - sin^2(x) = 2cos^2(x) - 1 = 1- 2sin^2(x)
という表し方ができるので、
cos^2(x) = [cos(2x) + 1]/2,
sin^2(x) = [1 - cos(2x)]/2
と書けます。
よって
tan^2(x) = sin^2(x)/cos^2(x)
= [1 - cos(2x)]/[cos(2x) + 1]
これをcos(2x)について解くと、
cos(2x) = [1-tan^2(x)]/[1+tan^2(x)]
よって
cos(x) = (1-t^2)/(1+t^2).

さらに
tan(x) = cos(x)/sin(x) なので、
sin(x) = 2t/(1+t^2).

-log|1-t|+log|1+t| = log |(1+t)/(1-t)|.

sin(x) = 2t/(1+t^2) から、
1 + sin(x) = 1 + 2t/(1+t^2) = [t^2 + 2t + 1]/(1+t^2)
= (t+1)^2/(1+ t^2).
よって、
(1+sinx)/|cosx| = (t+1)^2/(1+ t^2) * (1+t^2)/|1-t^2|
= (t+1)^2/|1-t^2|
= (t+1)/|1-t|.

したがって
log |(1+t)/(1-t)| = log{(1+sinx)/|cosx|}.