rotA（∇A）の求め方

質問

r=(x^2+y^2+z^2)^1/2
A=uI/4π∫c ds/r（Aはベクトル、上に→がついてます）

のとき、rotA（このAもベクトル、上に→がついてます）を求めよ。

という問題があるのですが、どこから手を付けて解いていけば良いのかわかりません。
rotAの定義はわかるんですが、実際どのようにしてこの問題を解いていけば良いのでしょうか？

わかる方居られましたら、ぜひ教えてください。お願いします。

回答No.2

Meowth · ベストアンサー

数学のほうに回答したけど、
こっちのほうがいいなら
コピーぺ
形からして、Ａは定常電流Ｉによるベクトルポテンシャル
の原点での値のよう。
divA=0
rotA=B
rotB=μi　(iはベクトル）
→ΔA=-μi(ｘ)
の解
A(x)=μ/(4π）∬∫ i(x')/|x-x'|d^3x
でｘ=0だと、
A=μ/(4π）∬∫ i(x')/ｒd^3x
ここでiはベクトルで位置の関数。
閉回路に一様電流Ｉが流れているときは
断面方向に積分できるので、閉曲線に沿っての線積分のみがのこり、
A=μＩ/(4π）∫_ｃ 1/ｒds
でｓは線素ベクトル。
という式でしょう。
原点周りに、閉回路があるとき、原点からの距離ｒについて　1/rに回路にそった線素ベクトルをかけて線に沿って積分すると、
原点でのベクトルポテンシャルが計算できる。
ただ、Ａに原点を代入すると、rotAは計算できなくなるので、
やはり、
x=(x,y,z) x'=(x',y',z') 　左辺のｘ、ｘ’はベクトル
ｒ^2=(x-x')^2+(y-y')^2+(z-z')^2
A(x)=∫_ｃ 1/ｒds(sはベクトル）
で、
B=rotAは
Ｂ＝μＩ/(4π）∫_ｃ ds×（x-x')/ｒ^3 　
ds x x' はベクトル　×は外積
原点の値なら、（ｘ=(0,0,0)にする。）

rotAの定義にしたがって、Ｂの成分を計算する。

お礼

こちらの方までチェックして、回答までして頂き本当にありがとうございます！

回答No.1

my3027

rotA（∇A）という記載は、∇×Aという理解でいいでしょうか？

∇×A=(εijk∂uk/∂uj)ei ここでεは交代記号でeiは基底ベクトルです。
rのみがx,y,zの関数であれば、それを各成分i,j,kで偏微分したベクトルとなるのでは。

行列式でかくと(上手く表示されないので各要素をコンマで区切ってあります。また以下3行を1つの行列式と考えて下さい。
| x, y, z |
|u/∂ux, u/∂uy, u/∂uz|
| r, r, r |
ここで1行目のx,y,zはベクトル。

お礼

回答ありがとうございます。
なるほど…