関数の意味は何ですか？

質問

数学が苦手なんですが、関数くらいからわからなくなります。ちょっとした疑問なんですが、教科書では方程式から関数に行きますが、関数を学ぶ狙いというか意図は何ですか。それから誰が関数を発見したんですか。簡単に教えてください。

回答No.4

aster · ベストアンサー

「関数」というのは、数学の概念として厳密に定義したものをいうのなら、過去千年ぐらいのどこかの機会においてだと思います。関数の概念は段々、洗練され、厳密に複雑になって行きましたから、そういう過程は無視すれば、「数の関係の関数」概念は、過去数千年のあいだで、高度な文明においては、知られていたとも言え、従って、「発見者」は誰か分かりません。

＞関数を学ぶ狙いというか意図は何ですか。

一番基本的には、そもそも「関数」という概念（そういう言葉で呼んでいなかったとしても、また言葉がなかったとしても、「関係」という形で、把握していたはずです）が必要なのか、世界の事象が、「時間とともに変化する」からです。

時間とともに、どう変化するかというのは、例えば、１０月１日、２日、３日、４日、という風に、時間の時点を考えて、このとき、例えば、月はどういう形かということを調べて、日が進むにつれ、段々、丸くなってくるとか、段々欠けてくるとかいうことが分かるのです。

あるいは、ある村で、麦を作っていたとして、畑の大きさは変化していない場合、今年は、たるに１２０個分取れた。昨年は１１０個分だった。その前の年は９０個分だった、などという数字が出てきます。

麦などの食料がどれだけ取れるかは重要な問題です。

この村で、毎年の麦の収穫量の記録を取っていたとすると、例えば、何年という年を調べると、そのときの収穫の量が分かります。これは、何年という時間Ｔを考え、「収穫量の関数」あるいは「収穫量との関係」というものを考えると、Ｔを指定すると、記録から、たる１１５個分だとかいう収穫量の数字が出てきます。

昔は、記号などでは表現できませんでしたが、これを、記号で表すと、収穫量の関数ｆがあって、収穫量をＹ個分のたるの量だとすると、Ｙ＝ｆ（Ｔ）という式になって、ｆが収穫量の関数ということになります。

時間のなかで、変化が起こるということは、人間が変化を起こすこともできるのです。

例えば、畑の形が仮に正方形だとして、一辺が、２０ｍだったとします。しかし、この畑からの麦の収穫では、どうも足りないので、畑を開墾で大きくして、一辺４０ｍ、つまり、以前の畑の二倍の大きさの辺を持つ畑を作って、ここで麦を栽培します。

すると、順調に行ったとすると、一辺を二倍にした正方形の新しい畑からは、前年の２倍の麦が取れるかというと、実は、もっと取れるのです。大体４倍取れるはずです。

なぜ４倍なのか、というと、これは、一辺を二倍にすると、正方形の面積は４倍になるからだということです。

正方形の面積をＳとすると、一辺の長さＸに対し、Ｓ＝Ｘ^2 という式が成り立ちます。これも実は関数なので、Ｓ＝ｆ（Ｘ）として表すと、関数ｆは、Ｘを二乗するという意味になります。

麦が幾ら収穫できるかという話以外にも、ある鉱山では、銅が年間何トン採掘できるか、とか、米を俵に詰めると、幾らで売れるかとか、アメリカに自動車を年間、何台売ったとか、ものの「数量」や、できごとの「数字」などが、人間の生活で、重要な意味を持つのです。

時間の変化とは限らないのですが、何かが変わると、問題にしている物質・もの・利益など、例えば、麦の収穫や、銅の生産や、自動車の販売数や、給料の額などが、それに応じて変化する場合、元の変わったものを、Ｘという記号で代表し、問題にしているものや利益などの数量・額を、Ｙという記号で代表すると、Ｘが変わると、Ｙも違ってくるというのが普通で、このとき、ＸとＹには「関係がある」となります。

数学では、Ｘを「数」として考え、問題になるＹの方も「数」としてあらわします。

Ｘを決めると、Ｙの方も決まってくるのです。日常語では、ＸとＹのあいだに「関係がある」と言います。数学では、もう少し厳密に、「ＸとＹのあいだに、関数関係がある」というのです。

これを、記号で、Ｙ＝ｆ（Ｘ）と書くのです。これは、例えば、Ｙ＝２Ｘのことかも知れないのです。このとき、Ｘがある数だと、Ｙはその二倍の数だとなります。しかし、Ｙ＝５Ｘもあり、このときは、Ｙは五倍の数だとなりますし、Ｙ＝Ｘ^2 だと、ＹはＸの二乗の数だとなります。

Ｙ＝ｆ（Ｘ）を、「ＹはＸの関数である」といいます。これは、Ｘの値が違うと、Ｙの値も違ってくるということで、どういう風に違ってくるかは、関数ｆ（Ｘ）が、具体的に、どんな関係の式なのかで決まってくるのです。ｆ（Ｘ）＝２Ｘなら、Ｙは、Ｘの二倍の関係です。ｆ（Ｘ）＝Ｘ^2 なら、ＹはＸの二乗の関係です。

関数というのは、あるものＸが変化すると、Ｙもそれに応じて変化するという「関係」を数学的に抽象的に述べているので、どう変化するかは色々ある訳で、「ある関係」が決まっている場合、「ある関数関係がある」というのです。この関係を、「関数」と呼んでいるのです。

関数という数があるのではなく、数と数の関係が関数なのです。

個人の生活でも、企業や国家の問題でも、あるいは国際関係でも、色々な物資や製品や利益や、色々なものが「数量」で考えられていて、また捉えられていて、数量と数量の「関係」が問題になってくるのです。

数量と数量の関係は、数学では、「関数」で表現できるので、また、どういう関係かを決めると、あるいは調べて分かると、それは数と数のあいだの「関数」で表現できるので、関数というのは、非常に重要になってくるのです。

一時間５００円のアルバイトで、一ヶ月１００時間働くと、アルバイト収入は５万円となります。これでは少ないので、翌月は１５０時間働くと、収入は７万５千円になります。どうして、５万円とか７万５千円などという収入が計算できるのかは、これは、収入が、働いた時間Ｔの「関数」になっているからです。

収入＝５００＊Ｔ　という関係になっているので、これは関数関係ですから、例えば、このときの関数をｆで表すと、収入Ｙ＝ｆ（Ｔ）＝５００＊Ｔ　となるのです。

しかし、こんな安いアルバイトではやっていられないというので、時間給７００円のところで、アルバイトすると、収入Ｙ＝７００＊Ｔ　となり、これはｆ（Ｔ）と少し違うので、例えば、収入Ｙ＝ｇ（Ｔ）＝７００＊Ｔ　という風に、関数として、ｆ（Ｔ）ではない、ｇ（Ｔ）という記号を使うと区別できるのです。

関数を学ぶ目的は、世のなかや、自然世界が、数字で動いたり決まっていて、どういう関係が、世のなかのできごとや、自然世界の現象では、あるのかを把握しようとすると、数字の関数の関係になっていることが分かるのです。そのため、「関数」というものが、世のなかや自然を理解し、把握するのに必要になってくるからです。

「関数」という言葉や概念を使わなくても、上に述べたように、アルバイトの時間給と、働いた時間数と、収入の関係は、誰でも分かっているのです。ただ、もっと複雑な関係になってくると、数学で正確に定義し、式の上でも厳密に表現しないとならないので、あまり身近には関係ないように見えているのです。

二次方程式や二次関数など、日常で縁がないと思えるかも知れませんが、例えば、石などを上に投げると、あるところまで上って、それから落ちてきますが、このとき、上った高さと、投げてから落ちてくるまでの時間には関係があり、それは、二次関数で表現できるのです。

最初の人の回答で、大砲を当てる話がありましたが、大砲を撃って、目的に命中させるには、大雑把には、三角関数表を使い、二次方程式を解いて、砲身を向ける高さを決めるのです。

お礼

関数はなくてはならないものなのですね。先生もそのへんから教えてくだされればよかったのかもしれません。

回答No.3

First_Noel

関数は，
幾つかの数字を使って，
ある作業をして，
あるひとつの数字に変換する，
と言うものです．

あなたが今，何かの数値をひとつ，１日かかって知ることが出来たとします．
１００個知るには１００日必要，１００００個なら１００００日．
しかし関数を知っていると，無限個の値を得たことに等しいのです．
そこから，その数値の並びがどういう性質を持っているかが分かります．

例えば，自由落下（モノを持って静かに手を離して落とす）の場合，
ｙ＝０．５×９．８×ｔ×ｔ
と言う「関数」で，どのくらい時間経過すればどう落ちるかが予測出来ます．
で，１００００ｍ落ちるのにどのくらい時間がかかるのか？と言う場合，
１００００＝０．５×９．８×ｔ×ｔ
と言う「方程式」を解いてｔの値を求めれば，それも求まります．

お礼

確か授業でグラフを使ってやりましたね。物理が関係しているんですね。物理が苦手なのもここから来ているのかもしれません。

回答No.2

milkysugar

内容的にはおせっかいかもしれないのですが，一応．
＃ というより書きたいから書いているだけかもしれませんが

関数というのは，簡単に言えばブラックボックスのようなものです．
y=f(x)という関数は，「fというブラックボックスにxという数を入れれば，yが出てくる」という意味で，
たとえばf(x)=x^2 （２乗のことです）というのは，そのブラックボックスの中ではxが２乗され出力されるという意味なのです．

だから，例えばミサイルの話なら，「時刻t」をブラックボックス（関数）に入れれば，その時刻でのミサイルの位置が出てくる，というのがミサイルの位置を示す関数になります．
＃ 正確に言えばこれは関数ではないのですが，似たようなものだと思ってください．
＃ 正式には，関数とは出てくるものが数の場合に限って言います．

ミサイルの話もそうですが，いくつかの変数（例えば，時刻や位置）の関係を調べるためには，それらの対応関係を示す関数という概念を考えることが必要なのです．
だから関数なくして数学はあり得ないと言えるでしょう．

お礼

方程式から関数へ。やっぱり関係がありますね。概念上とは言えグラフには深い意味がありますね。

回答No.1

Scotty_99

関数は１７世紀ころです。
１７世紀にドイツのライプニッツが関数と名付けました。

大砲の弾の飛び方が誕生のきっかけとされています。
大砲のたまは直線で飛び、ぽとんと落ちると考えられていましたが、
関数のおかげで放物線を描いて落ちることがわかりました。

ということは、関数がなければ北朝鮮のミサイル「テポドン」が
日本に直撃して、惨劇が生まれていたかもしれません。
関数は大変ありがたい数学なのです。

お礼

わかりやすい例えですね。それでは原子爆弾も関数が関係しているのかもしれませんね。