ルービックキューブを数学的に証明したい！！

質問

高校の研究でこれをテーマに選んでしまい、これができないとまぢで卒業できません。助けてください。

誰がやっても、どんな状態から始めてもこの解き方なら１００％解けるという方法と、そのことを証明したいのです。

１：まず、パズルを証明するに当たってどんな方法があるのか。
　　ルービックキューブに限らず、パズルを証明するようなサイトがあれば教えてください。
２：レポートにしなければいけないため、どのようにまとめればいいのか全く分かりません。
３：できれば証明していただければありがたいです…。（当初は自分の力だけでやろうと思ってたんですが、卒業がかかってくると流石に…）

回答No.8

puni2 · ベストアンサー

良い本があります。
島内剛一（しまうちたかかず）著『ルービック・キューブ免許皆伝』（日本評論社，1981年3月）です。絶版かもしれませんのでその際は図書館で聞いてみてください。
島内先生は立教大学教授で，コンピュータや数学に関する本を多数書かれています。惜しくも数年後亡くなられました。
他にもキューブの解き方だけを書いた本ならいくつかあるのですが，本書が他所と違うところは，きちんとした数学的な裏づけがあって，それでいて一般の人でも分かるように書かれているというところです。
天の巻，地の巻，人の巻，虎の巻（！）という4つの章からなっており，この本全体がいってみれば「必ず解ける」という証明のようなものです。
ただ，本当に100％解けるのか？という厳密な証明となると，どうしても群論（とくに置換群）の知識が必要になります。
たとえば，揃った状態からスタートして，角のキューブ1個だけ（あるいは辺のキューブ1個だけ）が向きを変えた状態にもっていくことはできません（こわせば別ですが）。
本書は一般向きの図書ということもあり，その辺の話は，巻末に「数学の定理から」として2ページほどさらりと書いてあるだけです。

もう少し数学的な議論は，同じ日本評論社から出ている『数学セミナー』という雑誌に時々載っていました。
私が覚えているのは，80年10月号・11月号の「System5」というコーナーで，それぞれ数ページにわたってとりあげられていました。
また，81年8月号には『ルービック・キューブで群論を学ぼう』という特集があり，40ページにわたっていろいろな記事が載っています。
おそらく都道府県率図書館にバックナンバーがある可能性が高いので，お近くの図書館に問い合わてみて下さい。

今の高校数学では，（少なくとも教科書では）群論は学ばないと思います。
以前は数学IIBという科目で軽く扱っていましたが，84年度入学の学年から新しい指導要領になって，それ以降は習っていないはずです。
大学の範囲まで先取りして教える学校や塾などでは扱っているかもしれませんが。

オーソドックスな証明のやり方としては，
「キューブには3面体と2面体（本によってはコーナーキューブとエッジキューブ，角と辺などともいう）があること」
「各キューブには，位置も向きも正しい状態，位置は正しいが向きが違う状態，位置が違う状態の3通りの状態があること」
をおさえたうえで，
「位置や向きのずれかたにはこういう規則性がある」
「こういう状態のときは，こういった操作を行なうことで，こういう状態に持って行くことができる」
というのをあげていけば，結局は全ての場合を網羅することになるでしょう。
ただ，これだと相当長い証明にならざるをえないような気がします。
もしかしたらもっとエレガントな方法があるかもしれません。

お礼

ありがとうございます!!!!!!
まずは群論から理解しないといけませんね。（今から間に合うのだろうか…）

先人に学べということで、色々な本を探してみます。
今までどうやって解けばいいのか見当もつきませんでしたが、
とりあえず群論で解くほうがいいということが分かったので今度の土日にでも探しに行ってみます。

回答No.7

kee

度々すみません
本当は、数学者さんのおでましを期待したいところですが。

本気で数式にするのは大変難しそうですよ。
まず、ひとつひとつの駒の動きに注目して法則性を見つけなくてはなりません。
たとえば、ひとつの駒は4回同一方向へ動かせば同じ状態になる数列になると思いま
す。そして、それは、6561のうちのひとつの動きですね。
面の動きを数式にして、極限で１つに収束することを証明すればよいのかもしれませ
ん。

もちろん、ここでの駒の動きというのは、キューブを解く答え（法則）で制限をかけなくてはなりません。

そうです。この法則性を数式にするのが一番難しいのかも。
まぁ、参考になるかどうかわかりませんが。

お礼

そうなんです。これを解くには「そもそもルービックキューブとは何ぞや？」というところから入らなければいけないんです。

あぁ…。今日、倫理の授業を受けて少し考えてたのですが、大陸合理論の合理的に認知する方法ではなく、英国経験論の帰納法を用いて考えればいいのかなぁ…。って思いました。
そう考えると少し出来そうな気がします。

回答No.6

cuprate

こんばんは。
ルービックキューブの解法には、群論が必要です。
最近の高校のカリキュラムには「群」は入っていますか？
十数年前のカリキュラムには入っていたのですが、、、。

群とは、「数と計算」の集合のようなもので、たとえば、
「整数と加減算は、整数同士加減算しても必ず、整数に
なりますから、群を成してします。」
なんていう風にいいます。
「1と-1とiと-iと掛け算」も群です。
「正方行列と積」も群です。但し、この場合、ABはBAと等しく
ないことに注意する必要があります。さて、ルービックキューブですが、

「ルービックキューブと回転操作」は群を成しています。
どんなに回転しても、ルービックキューブがルービックキューブで
なくなることは無いからです。

というわけで、群であることがおわかりいただけましたら、
「群論　ルービックキューブ」で検索をかけて見てください。
山のようにサイトが見つかります。

ただ、サイトが見つかっても、高校生レベルではかなり
難しいような気がします。ルービックキューブを2×2の大きさに
縮小したもので考えてみるのも手ですが、それでも、はっきり
言って、絶望的かも知れません。何しろ、1つの立方体の回転
に関する群(回転群)でも、結構複雑ですから、、、、。

若者のひらめきに期待します。がんばって。
(皮肉ではありません。十数年前に群論にチャレンジして
挫折したものですから、、、、、)。

お礼

群論というのがどのようなものか分からないので何とも言えませんが、「郡」なら習った気がします。（実はこういう系は数学でも苦手な範囲なので…爆）

でも説明を何回も読んでも何のことなのかさっぱりということは習ってないのでしょうね。（これで習ってたらマズゥｗ）

そして、検索してみました!!!!出て来ました！!!ちゃんと数学的に証明してあるレポート？も発見したかもしれません。なぜ曖昧なのかというと、英語なんです…泣
http://web.usna.navy.mil/~wdj/rubik_nts.htm
どなたか…訳して…笑
というか、大学卒業レポート並みのものなんですね。これって…。泣

回答No.5

europiccola

（再々追記）

ううむ、私もそこまで深く考えたことはなかったですが…。
動きの定義は各人のオリジナリティの見せ所だと思いますが、私だったらこうするかな。

寸法を計るときの「Ｈ（高さ），Ｄ（奥行き），Ｗ（幅）」を使います。
キューブを３階建てのビルに見立てると、１階部分のみを左に回すと「Ｈ１左」、右に回すと「Ｈ１右」、１８０度回すと「Ｈ１反」。
キューブを手前から奥への３層に見た場合、手前の面を右回りに回すと「Ｄ１右」。（以下略）
キューブを左から右への３層に見た場合、左側の面を（正面から見て）上に回すと「Ｗ１上」。（以下略）

例えば、下記の参考ＵＲＬのページの動きを上記の定義で表現すれば、
「Ｗ２下、Ｈ３左、Ｗ２下、Ｈ３左、Ｗ２下、Ｈ３反、Ｗ２上、Ｈ３左、Ｗ２上、Ｈ３左、Ｗ２上、Ｈ３反」
となります。棋譜みたいですね。

いずれにせよ参考図面は付さないと文字だけではレポートを読む方もつらいと思いますが、図と矢印だけでは数学のレポートっぽくないという趣旨であれば上記を参考にしてみて下さい。

参考URL：

http://www.alpha-net.ne.jp/users2/dkdkdk/cube/cube6.html

お礼

自分も、そのやり方で証明していこうとしました。やはりそのやり方で無いとむずかしいですよね。数学的証明となると。
今日考えたんですが、やっぱりとりあえず一面が４ブロック？のルービックキューブの証明を、まずやろうと思います。（スターウォーズのダースモールの顔のルービックキューブがそれなんだとか。）
初めから「あれ」を証明するというのは流石に難しいですよね。

回答No.4

europiccola

（再追記）

なるほど、お困りなのはレポートの手順なのですね。

「ルービックキューブ」で検索すると複数のサイトが出てきます。解き方にもいくつかの流儀（？）があります。まずは自分にとって分かりやすい流儀を選んでください。できれば見なくてもできるようにマスターしてください。

どの流儀も、バラバラの状態から幾つかのステップを踏んで完成に至ります。その各ステップについて、「どのような配列になっていても第１図にすることはできる」「第１図の状態にあれば、どのような配列になっていても第２図にすることはできる」…という要領でレポートを書けば良いのではないでしょうか。

最終ステップが一番分かりやすいはずです。まず最終ステップの部分を書いて、１ステップずつ戻って個々の部分を書いていった方が作業は楽だと思います。

お礼

な、なるほどっ!!!確かに最終段階だと証明できそうです!!!

でも、出来れば「動き方の定義」を簡単に説明できませんか？
ルービックキューブの動き方が複雑で…。
揃えるのは自分で考えた方法なんですが、その方法だととても証明できそうに無いので、できれば証明しやすそうな方法で証明できたら…と思いまして。

回答No.3

kee

この証明ってすごい大変ですよね。
まずは、ペーパークラフトでよく見るさいころの展開図から発展させると良いと思います。
そこで、1面９個の枠を書いて、それぞれの動きを定義します。
どこをどう動かすとどのように入れ替わるか定義します。
あとは、キューブを解く虎の巻を見ながら追っていくと良いでしょう。

それを一枚一枚の絵を併せながら解説図を書いて、努力賞を狙ったらいかがでしょう。

すごい量のページになるような気がしますよ。
高校の教師も課題の妥当性についてなにも考えていないのだろうか？？

お礼

実はこのテーマにしたのは自分なんです…。泣
自由研究の授業があって、一年間何かを研究するっていうのなんです。
で、何にしようって思ってみんなと違うことがしたかったのでこんなテーマにしたら、先生が「おもしろそうやん。」ってことでこのテーマにしたまでは良かったのですが…。
今から課題を変えてもいいのですが、実はその担当の数学教師があまり好きじゃなく、人を馬鹿にする先生なので、「できませんでした。テーマを変えさせてください。」って言うと確実に馬鹿にされて、その先生に負けた気がするので嫌なんです。

最初は
（１）右に回した場合…
（２）左に回した場合…
（３）下に…
ってやってたんですが、こんな証明の仕方じゃ一生かかっても出来ないことに気が付き、そのまま足踏み状態なんです…。
どうかお願いします。

回答No.2

europiccola

（追記）たとえばこんなサイトがあります。

参考URL：

http://isweb11.infoseek.co.jp/diary/ksuehiro/index.html

お礼

ほんとありがとうございます。
こんなに早くレスが付くなんて思ってもみませんでした☆
どうかほんとお願いします。

回答No.1

europiccola

当時何かの雑誌で具体的な攻略法（ステップごとの手順）を読みました。すぐに探し出せるかどうか自信がありませんが（他の方の投稿にも期待）証明はできますので安心してください。

お礼

ありがとうございます！！