ルービックキューブ！

質問

この前、主人と昔懐かしの「ルービックキューブ」について話をしていたのですが、あのオーソドックスな立方体の６面(色々な色が混ざった状態や、１面そろった状態・・・などなど全て合わせて）は何通りのパターンがあるのでしょうか？　答えと計算方法も一緒に、数学を得意とする方！どうぞ教えて下さい。宜しくお願いします。

回答No.2

puni2 · ベストアンサー

懐かしいですね！　なかなか入荷しなくて，友人から「1日だけ！」といって借りてきては，こたつにもぐって遊んでいた覚えがあります。
（発売自体は夏だったと思いますが，手にすることができたのは秋も深まってからでした）
その後結局自分用のを買いまして，実は今も，パソコンのすぐ横に飾ってあります。

それでは，なるべく丁寧に計算方法を説明してみましょう（結局はNo.1で紹介されているページと同じことなのですが）。

まず，キューブを構成している小さな立方体は全部でいくつあるか，みてみましょう。
3×3×3で27個…となりそうですが，実際には，立方体の中心部分には回転の心棒を組合せた部品が入っているだけなので，26個です。
この立方体に3種類あります。
各面の中央にあり，回転はするが位置は動かないものが6つ。色の塗ってある面が1つしかないので，1面体と呼ぶことにします。
2つの面にまたがっており，ちょうどキューブのへりに位置しているもの（２面体）が，全部で12個。
3つの面にまたがっている，ちょうどキューブの角に位置しているもの（３面体）が，全部で8個。
1面体は動かないので，2面体・3面体の配置に何通りあるかだけを考えればよいですね。

ここで，2面体・3面体を全部ばらばらにして，1面体と心棒だけにしたとしましょう（もし実際にやってみるなら，一つの面を45度ぐらい回して，スプーンの柄などをさしこんでやると，簡単に取れます）。
その上で，これを元に戻すことを考えます。
まず2面体から考えてみます。構造上，もともと3面体があった角の位置には2面体は入らないので，12個の2面体を，もともと2面体が入っていた12か所に収めてやることになります。
これは，12個の相異なる物を並べる並べ方と同じですので，12!＝479001600（通り）になります。

「12！」を見て，「なるほど」と思われた場合は，次の★～★は飛ばして，その次に進んでください。（この先の★～★も同様に）
「なにこれ」と思われた場合は，次も読んでください。

★
12！という記号は，「12の階乗」と読みます。12×11×……×3×2×1のことです。
こんなふうに考えてみましょう。
まず12個ある2面体のうちの1個を手に取ります。収まるべき場所は全部で12か所。
これは最初の1個ですから，12か所のどこにおいても構いません。
次の1個を手に取ります。もう１か所ふさがっていますから，置けるのは11か所です。先程の2面体を置いた12か所のそれぞれに対して，2個目の置き場は11か所ありますから，両者をあわせると，12×11通りになります。
次の1個を手に取ります。今度は2か所ふさがっていますから，10か所におけます。12×11×10になります。
こんなふうに12個目まで続けて行くと，12×11×10×……×2×1となります。
★

次に，それぞれの2面体の向きも考えましょう。
例えば，赤と白に塗られた2面体が，どこかに…では話しづらいので，仮に本来収まるべき場所に収まったとします。
このとき，正しい収まり方は，「1面体（各面の中央でしたね）が白になっているほうに白が，1面体が赤になっているほうに赤が」向いている状態です。
しかし，「場所は合っているけれど，色が反対」という収まり方もあります。
つまり，一つの場所につき，向きは2通りあります。
これは12個の2面体の全てについていえることで，しかもお互いに影響されません（前の2面体をどういう向きに入れようが，次の2面体の向きは自由に決めてよい）。……（注1）
したがって，向きの全パターンは2^12＝4096（通り）あります。

★
2^12は「2の12乗」，つまり2を12回かけあわせた値，を表します。
普通の数式では12を右上に小さくつけて書きますが，コンピュータ画面ではうまく表記できないので，こういう書き方がよく使われます。
★

今度は，8個の3面体について同様に置いていきましょう。
まず場所は，8！＝40320（通り）。
向きは，1個の3面体について3通りずつあるので，3^8＝6561通り。

以上を全部掛け合わせると，12!×2^12×8!×3^8＝519024039293878272000（通り），となります。
日本語で読むと，5垓（がい）1902京（けい）4039兆2938億7827万通りです。

ところで，実際に操作をする場合（つまり，このように物理的に壊さず，各面が揃った状態から回転だけを行なった場合）は，各立方体の動き方に制約があります。

まず2面体の向きですが，先程の（注1）と異なり，実際には12個の2面体のうち11個目までが決まると，残り1個の向きは自動的に決まってしまいます。従って，2^12ではなく2^11になります。
（したがって，完成した状態から1個だけ2面体を外して，逆向きにはめ込むと，もう一度外さない限り，どう回しても元には戻りません。）
また，3面体の向きも同様に，3^8ではなく3^7になります。

さらに，2面体と3面体の位置についても制約があります。
これは数学の「群論」という理論で説明されるのですが，結論だけ書くと，「バラバラに分解してからまたはめ込むと，回転によって元に戻せる位置の場合と，そうでない場合とがあり，その比率は半々」なのです。

したがって，トータルとしては先程の５垓通りの12分の1（←2分の1×3分の1×2分の1）となります。
（いいかえれば，完全にバラして適当にはめこむと，元に戻せる確率は12分の1しかないということです。）
もういっぺん計算してみると，12!×2^11×8!×3^7÷2＝ 43252003274489856000（通り）になります。
4325京2003兆2744億8985万6000通り，と読みます。

ところで，日本の製品（ツクダオリジナル社）を買うと，中に小さな説明書が入っていて，そこには「30億通り以上」と書いてあるんですね。
発売当時（80年）にこれを見て「何これ」と思いましたが，今おもちゃ屋で売っているのを見ても，相変わらず書いてあるようです。
確かに30億「以上」なので嘘ではないのですが，どういう根拠のある数字なのか，なぜわざわざ30億と書いたのか，謎です。

回答が大変長くなってしまい恐縮です。

お礼

puni2さん、一言一句とても親切で丁寧なご説明♪　感謝感謝です！有難うございました！
　ここまで、わかり易く、こちらの疑問であろう点を、くんで下さっての回答に、とても心を感じました。とても嬉しいです。
　一文字ずつ目で追い、「なるほど！なるほど！」と足りない頭で、頷きながら進んだ結果！　
　ようやくわかりました～（喜）(^∀^)／♪♪♪
　puni2さん、私の些細な疑問にここまで親切に本当に有難うございました。m(＿)m♪

回答No.1

juvi

43,252,003,274,489,856,000通りだそうです。
下記URLの
(3).質問タイム
「色の並べ方は何通りあるか？」
をご参照下さい。

参考URL：

http://www.analogmonkey.com/rubik.html#order

お礼

今からアクセスして、調べてみます。ここ数日疑問に思っていたので、とても早い解答！！！助かります。有難うございました。

補足

今アクセスしたのですが、私の頭がとてもついて行かないようです。これは、自分自身の能力不足の問題です。（笑）それでも、このように参考URLを教えて下さった気持ちが、とても嬉しいです。有難うございました。