余りについて２

質問

前回　http://oshiete1.goo.ne.jp/qa3644712.html　において
質問させていただいたものです。おかげさまで理解することができました。
そこで、ふと思ったのですが前回の質問ではx^2-1という因数分解でき
る形だったのですが、
例えばx^2+x+1というような形の場合どのようにすればいいのでしょうか？
x=(-1±√3i)／2を代入するのはキツイですし…
どなたかアドバイスよろしくお願いします。

回答No.2

kabaokaba · ベストアンサー

全く同じです

x^100 = (x^2+x+1)Q(x) + ax +b
x^2+x+1=0の解をα，βとすると
α^100 = a α + b
β^100 = a β + b
よって，
a = (α^100 - β^100)/(α - β)
b = (βα^100 - αβ^100)/(β - α)
ここで，α^3=β^3=1より
α^100 = α
β^100 = β
よって
a = 1
b = 0
つまり，余り x

回答No.5

kabaokaba

>こういう問題は，難しいです。高校生の学習内容を越えます。

地獄の計算量ですな
ちなみに答えは
3615793417840x^2-1277362989681x+5343934687762
です．しかし，
計算量の問題は放置しておけば，方法論は変わりません
こういうのは「難しい」というよりも「面倒」ですね．
なお，たぶん高校の範囲は超えません．
計算量が多すぎるので，問題としてはありえませんけどね．

本質はNo.3さんと同じ手法，合同式ですが，電卓片手に頑張ると
x^5=(x^2-x)(x^3+x^2+x+2)+(2x-x^2)より
x^100 = (x^3+x^2+x+2)(....) + (2x-x^2)^20
だから (2x-x^2)^20 の余りだけを考えればよい
(2x-x^2)^5の余りは -530x^2+91x-830だから
(-530x^2+91x-830)^4 の余りを考えればよい
(-530x^2+91x-830)^2 の余りは 984541 x^2-335500 x+1443620 だから
(984541 x^2-335500 x+1443620)^2 の余りを考えればよい
これを計算すると
3615793417840x^2-1277362989681x+5343934687762
がでてきます．

計算はともかく方法論として理解しておけば，
有益だとは思います．

回答No.4

osaQ

質問者様（tbgさん）の例　x^2+x+1　だったら，
ANo.3 の解法が最もスマートだと思いますが，
いつもいつもそんなキレイに解けるわけではありません。

例えば x^2+x+2 だったら，
ANo.1 や ANo.2 のような解法になるでしょう。

では，割る式が3次以上だったら？
例えば，x^3+x^2+x+2 だったら？

こういう問題は，難しいです。高校生の学習内容を越えます。
ちゃんと解説すれば理解できない話ではないと思いますが，
大学受験では，「原則として」高校までで学習する内容からしか
出題されないわけですので，
「出題される問題は，高校までの学習で解ける問題に限られる」と
割り切って考えたほうがよいとおもいます。

※ 受験のためでなく，数学が好きだから考えたいということであれば，
　 ここにはそれにお付き合いしてくれる回答者がたくさんいると思いますよ。

お礼

今は試験で頭が一杯ですが問題を解いていくうえで生じた疑問を大事にしながら、
数学、もちろん他の教科についても好きになっていきたいです。ご回答ありがとうございました。

回答No.3

jokyoju

x^3-1=(x^2+x+1)(x-1)
この関係を利用します。

割られる関数をｆ(x)とすれば
これをx^3-1で割った商をg(x)とすれば
ｆ(x)=(x^3-1)g(x)+ax^2+bx+c
となります。

ではｆ(x)をx^2+x+1で割った場合のあまりは
(x^3-1)g(x)はx^2+x+1を因数としているのでx^2+x+1で割り切れます。
そこでax^2+bx+cをx^2+x+1で割ったあまりを求めればよいことになります。

そこでx^ｎをx^3-1で割ったあまりを考えて見れば
x^3-1=yとおけばx^3=1+y
つまり
x^n=x^3*x^(n-3)
　=(1+y)*x^(n-3)
　=x^(n-3)+y*x^(n-3)
となります。

y*x^(n-3)はy（つまりx^3-1）で割り切れるので
x^nとx^(n-3)をx^3-1でわったあまりは同じあることがわかります。

x^100であればx^3-1でわったあまりは
x^97,x^94,・・・xをx^3-1で割ったあまりと同じになるので
あまりはxとなります。

このあまりxをx^2+x+1で割ったあまりを求めればよいことになります。

ちなみに前回の質問のx^100をx^2-1で割ったあまりは
x^98,x^96,・・・x^2をx^2-1で割ったあまりと同じになります。

X^0で1としてもよいかも知れません。

回答No.1

info22

x^2+x+1=0の解をw1,w2とおくと
w1,w2=(-1±√3i)／2
ですが
(x-1)(x^2+x+1)=x^3-1=0
ですから
w1^3=w2^3=1を満たす。
w1^100=w1*(w1^3)^33=w1,w1^2=-1-w1=w2
w2^100=w2*(w2^3)^33=w2,w2^2=-1-w2=w1
となります。この関係を使って下さい。

x^100=P(x)(x^3-1)+a(x^2+x+1)+bx+c…(A) とおくと
x=1とおいて
1=3a+b+c…(1)
x=w1=(-1+√3i)／2の時
(-1+√3i)／2=b{(-1+√3i)／2} +c…(2)
x=w2=(-1-√3i)／2の時
(-1-√3i)／2=b{(-1-√3i)／2} +c…(3)

(1),(2),(3)からa,b,cを求めて(A)に代入すれば
余りbx+c＝　？
が出てきます。