数列:二乗の和

質問

問題を解く過程で困っています。アドバイスをくれませんか？

問題
数列 {a(n)} = a(1),a(2),...,a(n) とする。

a(1)+a(2)+...+a(n) = Σa(i) = 1 のとき
Σ(a(i))^2 の最小値と　そのときのa(1),a(2)...,a(n) をのべよ。

---------
僕はぱっと思いつかなかったので、
n=2 として　考えました。
a+b = 1 のとき a^2+b^2の最小値。
これは　a=(1/2),b=(1/2) のときに　最小値(1/2)
と簡単に解けます。

n=nとして上の問題に戻ると
n=2のときの答えから
a(1)=a(2)=...=a(n)=(1/n)　のときに 最小値 (1/n)

と答えの予想はできるのですが、
計算、説明ができていません。

どなたかアドバイスをいただけないでしょうか。よろしくお願いします。

回答No.5

kts2371148 · ベストアンサー

＃３です。
確かに、あまりにも唐突でしたね。

n = 2 のときはすでに証明できていますので、
n = k-1 において正しいならば、n = k においても正しいことを証明すればＯＫです。
つまり、

（命題Ａ）
a(1) + a(2) + … + a(k-1) = 1 ならば
a(1)^2 + a(2)^2 + … + a(k-1)^2 が最小となるのは a(1) = a(2) = … = a(k-1) である

ということを用いて、

（命題Ｂ）
a(1) + a(2) + … + a(k) = 1 ならば
a(1)^2 + a(2)^2 + … + a(k)^2 が最小となるのは a(1) = a(2) = … = a(k) である

ということを証明すればＯＫです。

命題Ｂは、a(k) を定数とみなすと、
a(1) + a(2) + … + a(k-1) = 1 - a(k) であるときに
a(1)^2 + a(2)^2 + … + a(k-1)^2 + a(k)^2 が最小となるのはどのようなときか。
という問題になります。
命題Ａを用いると、最小になるのは a(1) = a(2) = … = a(k-1) であるときであることがわかります。
ですから、後は a(k) を定めればよいわけです。

a(1) = a(2) = … = a(k-1) ですから、この値を a とおきます。
そして、a(k) = b とおきます。
するとこの問題は、

(n-1)a + b = 1 であるとき、(n-1)a^2 + b^2 が最小になるのはどういう場合か

という問題になります。そこで＃３を用いると、
a = 1/n , b = 1/n のときに最小であることがわかります。
したがって、a(1)^2 + a(2)^2 + … + a(k)^2 が最小となるのは、

a(1) = a(2) = … = a(k-1) = a = 1/n
a(k) = b = 1/n

のときになります。

上記の回答を先に書いて、
その後で＃３の回答をすればよかったですね。
わかりにくくてすいません。

コーシーシュワルツの不等式は、高校で習うのでしょうか。
私は進学校ルートではないのでわからないのですが、
もしコーシーシュワルツの不等式を習っていないなら、
上の方法になるかと思いました。

お礼

回答ありがとうございました。
実のところ、最初この問題を解くときに　数学的帰納法からのアプローチを考えてみたのですが、kts2371148さんのようにうまく処理できず、断念してここで質問しました。　大変勉強になりました。　私には思いつきませんでした。

調べてないのでわかりませんが、
私は　高校でコーシーシュワルツの不等式は習った記憶がありません。
大学で聞いたことがある程度です。
高校でも　
(a^2+b^2)(x^2+y^2) ≧ (ax + by)^2
を証明せよ　といったコーシーシュワルツの不等式の縮小版とでもいいましょうか。こういったものは　高校でやりました。

ともあれ、　回答ありがとうございました。感謝します。

回答No.4

0lmn0lmn0

絶対不等式で、

　{At-B}^2≧0 ←（０）
　{A^2}(t^2)-2ABt+{B^2}≧0

　{a(1)^2}(t^2)-2a(1)b(1)t+{b(1)^2}≧0　←（１）
　{a(2)^2}(t^2)-2a(2)b(2)t+{b(2)^2}≧0　←（２）
　・・・
　{a(n)^2}(t^2)-2a(n)b(n)t+{b(n)^2}≧0　←（ｎ）

辺々を加えて、
　[{a(1)^2}+{a(2)^2}+・・・+{a(n)^2}](t^2)
　-2[a(1)b(1)a(2)b(2)+・・・a(n)b(n)]t
　+[{b(1)^2}+{b(2)^2}+・・・+{b(n)^2}]≧0

D/4≦0

[a(1)b(1)a(2)b(2)+・・・a(n)b(n)]^2
　≦[{a(1)^2}+{a(2)^2}+・・・+{a(n)^2}][{b(1)^2}+{b(2)^2}+・・・+{b(n)^2}]

即ち、[Σa(i)b(i)]^2≦[Σ{a(i)}^2][Σ{b(i)}^2] (Cauchy-Schwarz)
　等号条件は（０）（１）（２）・・・（ｎ）より、
　t=b(i)/a(i)→a(i)：b(i)が一定。

＃＃　ベクトルの内積の定義が成分でもokなら、
　　　　こんな面倒な事をやらなくても・・・。

--------------------

　b(1)=b(2)=・・・=b(n)=1　と置いて、
[Σa(i)*1)]^2≦[Σa(i)^2][Σ1^2] (Cauchy-Schwarzの特殊形)

　>>a(1)+a(2)+・・・+a(n) = Σa(i) = 1 のとき、

　1≦[{a(1)^2}+{a(2)^2}+・・・+{a(n)^2}]*n
　1/n≦Σa(i)^2

　Σa(i)^2 の最小値は 1/n 。
　等号条件はa(i)：１が一定。→a(i)が全て一致するときで、
　a(i)＝1/n　　。
---------------------------

お礼

回答ありがとうございます。
詳しくわかりやすい回答で助かりました。
私のために時間を割いてくださり、大変感謝いたします。

回答No.3

kts2371148

数学的帰納法でどうでしょうか？

まず、(n-1)a + b = 1 のとき、(n-1)a^2 + b^2 の最小値を求めます。
（n は２以上の整数とします。）
すると、

(n-1)a^2 + b^2
= (n-1)a^2 + (1-(n-1)a)^2
= (n-1)a^2 + 1 - 2(n-1)a + (n-1)^2a^2
= n(n-1)a^2 - 2(n-1)a + 1
= n(n-1){a^2 - 2(1/n)a} + 1
= n(n-1){(a - (1/n))^2 - 1/n^2} + 1
= n(n-1){(a - (1/n))^2} - (n-1)/n + 1
= n(n-1){(a - (1/n))^2} + 1/n

となり、a = 1/n , b = 1 - (n-1)a = 1/n のときに、最小値 1/n をとります。

あとは、数学的帰納法で問題なくできるはずです。
もしわからなければ、わからない点をコメント頂ければ回答できると思います。

お礼

回答ありがとうございます。
回答を読んだのですが、
どこから　(n-1)a^2+b~2 がでてきたかわからなかったです。
あと、数学的帰納法に適用させる段階も不明なのですが。
理解力が無くてすみません。
もしよかったら補足説明をお願いしたいです。
何もなければ　3日以内に回答を締め切ります。

回答No.2

koko_u_

Cauchy-Schwarz の不等式でどうだろう。

(Σa(i)*1)^2 ≦ (Σa(i)^2)(Σ1^2)

お礼

回答ありがとうございました。
コーシーシュワルツの不等式ですんなり行きますね！
大変勉強になりました。

回答No.1

endlessriver

ラグランジュの乗数法がよいと思います。
Σ(a(i))^2 は下に有界、上に有界でない。なのでもとめた極値は最小値とわかります。

お礼

回答ありがとうございます。
ラグランジュの乗数法ですか。参考にします。
初めて聞いた方法なのですが、時間があるときに調べます。
今はコーシーシュワルツで乗り切ります。ありがとうございました。