三角関数について

質問

π/２＜θ＜πとする。sinθcosθ＝-1/4のとき、次の式の値を求めよ。

（１）sinθ-cosθ

（２）sinθ,cosθ

角θの動径が第２象限にあることまでは、わかるのですがそこから先が分からないので教えてください。

回答No.5

0lmn0lmn0 · ベストアンサー

（１）
　　　　　　A=sinθ-cosθ
　　　　A^2=(sinθ-cosθ)^2
　　　　　　　=((sinθ)^2)-2sinθcosθ+((cosθ)^2)
　　　　　　　=1-2(-1/4)=3/2

　　　　　A^2=3/2
　　　　　　　A=√6/2, -√6/2

　　　　　ここまではokと思います。
　　　　　疑問は、√6/2なのか、-√6/2ではないしょうか。

　　　　　>>角θの動径が第２象限。

　　　　　　　　第２象限では　sinθ＞０　
　　　　　　　　　　　　　　　　　cosθ＜０　→ -cosθ＞０
　　　　　　　　　A=sinθ-cosθ＞０　となって、
　　sinθ-cosθ=√6/2・・・Ｐ が正しいとなります。

（２）sinθ,cosθ

　　　　　これは、
　　　B=cosθ+sinθ の値を先に出した方が、
　　　簡明かつ迅速と思います。

　　　B^2=(cosθ+sinθ)^2
　　　　　=((sinθ)^2)+2sinθcosθ+((cosθ)^2)
　　　　　=1+2(-1/4)=1/2

　　　　B=√2/2　または　-√2/2

　　　　sinθ+cosθ=√2/2・・・Ｑ　　または、
　　　　sinθ+cosθ=-√2/2・・・Ｒ

　sinθ-cosθ=√6/2・・・Ｐ　
　sinθ+cosθ=√2/2・・・Ｑ より、

　(cosθ,sinθ)=( {-(√6)+(√2)}/4、{√6+√2}/4 )

　sinθ-cosθ=√6/2・・・Ｐ
　sinθ+cosθ=-√2/2・・・Ｒ より、

　(cosθ,sinθ)=( {-(√6)-(√2)}/4, {√6-√2}/4)

この　二つの組は、
条件　π/2＜θ＜π, sinθcosθ=(-1/4)を満たしています。

^^^^^^
図形的にみると、
x=cosθ, y=sinθ とおくと、
双曲線　xy=(-1/4), 直線y-x=√6/2の交点の図を描いて見ると、
交点は、直線　x+y=0 に対して　対称になっています。
一方の交点が解の組ならば、他方の交点も解の組を表しています。

ちなみに、
sin１５度＝cos７５度＝{√6-√2}/4
cos１５度＝sin７５度＝{√6+√2}/4　と知っているならば、
ふたつのθは、１０５度と１６５度であると・・・。

^^^^^^^^^

別解は、数式のみ書きます。

Ｓ
　　　　sinθcosθ=(-1/4)　
　　　　sinθ-cosθ=(√6/2)　→　sinθ=cosθ+(√6/2)

　　　　{cosθ+(√6/2)}cosθ+(1/4)=0
　　　　((cosθ)^2)+(√6/2)cosθ+(1/4)=0

　　　　cosθ={-(√6/2)士(√2/2)}/2
　　　　　　　　={-(√6)+(√2)}/4、
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　{-(√6)-(√2)}/4

Ｔ
　　　　sinθcosθ=(-1/4)　
　　　　sinθ-cosθ=(√6/2)　→cosθ=sinθ-(√6/2)　

　　　　sinθ{sinθ-(√6/2)}=(-1/4)
　　　　((sinθ)^2)-(√6/2)sinθ+(1/4)=0

　　　　sinθ={(√6/2)士(√2/2)}/2
　　　　　　　={√6+√2}/4、
　　　　　　　　　　　　　　　　{√6-√2}/4

　　　　これらの４組の内で条件を満たすのは、
(cosθ,sinθ)
　　　　　=( {-(√6)+(√2)}/4、{√6+√2}/4 ),
　　　　　　　　　( {-(√6)-(√2)}/4, {√6-√2}/4)の２組になります。

回答No.7

kumipapa

あまのじゃくに、θを求めて直接計算してみました。

cosθsinθ = - 1/4
2cosθsinθ = -1/2
sin(2θ) = -1/2
2θ = 7π/6 または 11π/6
⇒ θ = 7π/12 = π/3 + π/4 または θ = 11π/12 = 2π/3 + π/4

θ = 7π/12 = π/3 + π/4 のとき
sinθ = sin(π/3 + π/4) = (√2 + √6) / 4
cosθ = cos(π/3 + π/4) = (√2 - √6) / 4

θ = 11π/12 = 2π/3 + π/4 のとき
sinθ = sin(2π/3 + π/4) = ( - √2 + √6) / 4
cosθ = cos(2π/3 + π/4) = ( - √2 - √6) / 4

以上より
sinθ - cosθ = √6 / 2
sinθ = (±√2 + √6) / 4
cosθ = (±√2 - √6) / 4

回答No.6

take_5

たいした問題じゃやないんで遊んでみます。。。。笑

（1）

（sinθ＋cosθ）＾2＋（sinθ-cosθ）＾2＝2‥‥(1)、（sinθ＋cosθ）＾2-（sinθ-cosθ）＾2＝4sinθcosθ＝-1‥‥(2)
(1)－(2)より、2（sinθ-cosθ）＾2＝3‥‥(3)
π/２＜θ＜πから、sinθ＞0、-cosθ＞0であるから、sinθ-cosθ＞0
以上から、sinθ-cosθ＝√6/2‥‥(4)

（2）
(1)と(4)より、sinθ＋cosθ＝±1/√2‥‥(5)
(5)とsinθcosθ＝-1/4より、sinθとcosθは t＾2±1/√2t-1/4＝0の2つの実数解。
これを解いて、sinθ＞0、cosθ＜0の解を求めると良い。

回答No.4

info22

(1)は他の方と同じですので省略し(2)だけ。

(1)から
sinθ+(-cosθ)=√6/2
また、条件から
sinθ*(-cosθ)＝1/4
2次方程式の解と係数の関係から、sinθと(-cosθ)を解とする方程式は
x^2 -(√6/2) x + 1/4 = 0
解の公式から
x=(√6+√2)/4, (√6+√2)/4
したがって
sinθ=(√6+√2)/4,(-cosθ)=(√6-√2)/4
または
sinθ=(√6-√2)/4,(-cosθ)=(√6+√2)/4

（答）は
sinθ=(√6+√2)/4,cosθ=-(√6-√2)/4 (θ=7π/12 で条件を満たす）
または
sinθ=(√6-√2)/4,cosθ=-(√6+√2)/4 (θ=11π/12 で条件を満たす）

回答No.3

noname#50187

(1)の問題は、(sinθ-cosθ)^2 を考えることによって解きます。

（sinθ-cosθ)^2 は、(sinθ)^2 - 2sinθcosθ + (cosθ)^2

順序を変えると(sinθ)^2 + (cosθ)^2　- 2sinθcosθ となります。

(sinθ)^2 + (cosθ)^2 は 1 なので、

(sinθ)^2 + (cosθ)^2　- 2sinθcosθ は　1 - 2sinθcosθ となります。

　問題文に、sinθcosθ＝-1/4　とあるので、

1 - 2sinθcosθ は 1 -2×(-1/4) すなわち 3/2 となります。

　長くなりましたが、これは、(sinθ-cosθ)^2を変形してきた結果ですから、(sinθ-cosθ)^2 = 3/2 となります。

　したがって、sinθ-cosθ = √(3/2)
　有理化して√6/2となります。

-√6/2が答えでないのは、
θの範囲が質問者様のおっしゃるように第二象限に限られているからです。第二象限ではsinθはプラス、
cosθはマイナスの値をとるので、sinθ-cosθ はプラスの値引くマイナスの値
（つまりプラスの値にプラスの値を足している）となるので、プラスの値となります。

　※答えは、sinθ-cosθ = √6/2

(2)この問題は、(1)の結果を使います。

　sinθ-cosθ = √6/2　より

　sinθ =　√6/2 + cosθ　・・・（条件１）となります。

　また、問題文に sinθcosθ＝-1/4 とあるので、これをsinθイコールの形に直してやると、

　sinθ = -1/4 cosθ ・・・（条件２）となります。

　条件１と条件２から、

　√6/2 + cosθ = -1/4 cosθ となり、

　これを変形すると、

　(4cosθ)^2 + 2√6cosθ + 1 = 0　となり、解の公式を使うと、

　cosθ= (√2 - √6)/4　あるいは　-(√2 + √6)/4 となります。

(1)　cosθ = (√2 - √6)/4 の場合、

　（条件１）から、sinθ =　√6/2 + cosθ　

　これに cosθ = (√2 - √6)/4 を代入して解くと、

　sinθ = (√2 + √6)/4　となります。

(2)　cosθ = -(√2 + √6)/4 の場合、

　　同様に、条件１の式にcosθの値を代入して解くと、

　sinθ = (√6 - √2)/4　となります。

　※答えは、sinθ = (√2 + √6)/4　,　cosθ = (√2 - √6)/4
または、sinθ = (√6 - √2)/4　, cosθ = -(√2 + √6)/4

　θの範囲のことが気になるのですが、どちらもsinθが0～1、cosθが-1～0になっているようなので、おそらくこれでいいかと思います。

　間違っていたら、申し訳ありません。

回答No.2

BookerL

(1)
sinθ-cosθ=A とし、Aの２乗を計算すると
A^2 = sin^2θ - 2sinθcosθ + cos^2θ
となり、sin２乗足すcos２乗は１なので、A^2の値は求まりますね。
求める A はこの平方根ですが、θが第２象限なのでsin>0、cos<0 で
sinθ - cosθ は正になるので、平方根のうち正の方が求める値です。

(2)
(1)で求まった値から sinθ = A + cosθ となり、これを
sinθcosθ＝-1/4
に代入すれば、cosθだけの式になります。cosθを未知数とする２次方程式になるのでこれを解けば cosθは求まります。二つの解のうち第２象限のcosなので、0～-1 の間にある方の解です。cosθがわかれば sinθも簡単に求まりますね。

回答No.1

debut

(1)
　(sinθ-cosθ)^2を計算してみれば・・

(2)
　(1)の結果とsinθcosθ＝－１/４を使えば・・