実際に一人暮らしをするためにアパートを借りたことがあるし、現在不動産会社で内勤の事務をしています（時々店舗の受付の手伝いをしてます）。
ひとつめの質問ですが、まずないです。そんな個人情報侵害みたいなことをしたら、会社の信用問題に関わります。
通常は、ご来店時にお客様にアンケート形式で必要事項を記入していただきます。住所や電話番号、名前はもちろん、勤務先や雇用形態、おおよその月収、年齢、あと引っ越す理由などをです。それで情報を得るのです。
売買で、住宅ローンの審査をしなければいけないのなら銀行側が会社の収入とか調べるでしょうが、賃貸の場合は現在の収入を、給与明細や源泉徴収票などを参考にします。もし本当に在籍しているか、勤務先に連絡して確認する場合（余程慎重な会社かと思いますが）でも、事前に借りる方の許可を得ると思います。無断でしたら好い気がしない＝その会社を信用できなくなる、でしょ??
そのアンケートをデータ化することはありますが、反響として今後の広告などの参考にする程度です。細かい住所までは入力しないはずです（私は直接関わってないので聞いた限りですが）。
ちなみに私が今の会社に勤める前、別の会社にてアパート探しをしていた時もそうでした。訳ありだったので色々正直に書き、親身になっていただきましたよ（某大手不動産媒介チェーン店です）。
あと家賃ですが、よく言われるのが収入の１／３ですからね…正直難しいと思いますよ。良心的な不動産会社なら勧めないかも。
私も以前アパートを借りた時は質問者様と同じように、パート社員の月収約13万でした。管理費込みで家賃４万円以下のところを探しましたよ。結局バイト先から徒歩10分程度（最寄駅から徒歩6分）で1Rで38000円という物件が見つかり、ただ隣人に多大な問題があり、体調を悪化させて失業して実家に戻る羽目にはなりましたが(^^;)近くにお墓があったり高圧線の塔が建っているという以外はなかなか良い物件でした（きっと朝早く出て夜遅く帰るような仕事だったら今でも住んでたかも…深夜勤務で昼間家にいたために隣人のプライベート侵害攻撃を受けたので）。
