この問題が解けません。レベルは高１です。

質問

a＞０、b＞０、1/a+1/b＝１のとき
(1)abの最小値
(2)1/(aの二乗)+1/(bの二乗)の最小値
(3)（aのn乗）b＋a(bのn乗)の最小値
を求めよ

って問題で、すべて最小値は『【a=b=2】のとき』らしいんですが、
どうやったら【a=b=2】だと求められますか？？

お願いします。

回答No.3

chomsky123 · ベストアンサー

(1)
>>a＞0、b＞0、(1/a)+(1/b)=1

相加・相乗より、

(1/a)+(1/b)≧2√(1/a)(1/b)
1≧2√(1/a)(1/b)
1≧4/ab
ab≧4・・・・＃

等号条件は、(1/a)=(1/b)
2(1/a)=1,,,a=2

よって、a=b=2　のとき、ab　のMIN　は　4　。
..................................................
(2)
ab≧4・・・・＃

{1/(a^2)}+{1/(b^2)}≧2√{1/(a^2)}{1/(b^2)}
{1/(a^2)}+{1/(b^2)}≧2/ab

これは、OUT
　　　　..............

ab≧4・・・・＃

P={1/(a^2)}+{1/(b^2)}
=[{(1/a)+(1/b)}^2]-(2/ab)
=1-(2/ab)

ab/2 のMINが２
(2/ab)のMAXが １／２
-(2/ab)のMINが －１／２

1-(2/ab)のMINは 1-(1/2)=(1/2)

よって、a=b=2　のとき、P のMIN　は　(1/2)　。
..................................................
(3)

ab≧4・・・・＃

Q=（a^n）b＋a(b^n)≧2√{（a^n）b}{a(b^n)}
≧2√{(ab)^(n+1)}≧2√{４^(n+1)}=2*{2^(n+1)}=2^(n+2)

等号は、（a^n）b=a(b^n)のとき、

a^(n-1)=b^(n-1),,,,a=b,,,,2(1/a)=1,,,a=2,,,,a=b=2

よって、a=b=2　のとき、Q のMIN　は　2^(n+2)　。

回答No.5

kumipapa

#4さん
＞　両方の等号が同時に成り立つことを示さないと具合が悪いと思うのですがどうでしょうか
その通りですね。同時に成立する事を明記すれば、
(a^n)b+a(b^n)≧2√{(ab)^(n+1)}≧2^(n+2)
で良いはずです。

（２）は、そのまま相加相乗平均を使うとダメだったんですね。
質問者には、なぜだめなのかきちんと把握されると良いでしょう。

回答No.4

Quattro99

(1)、(2)は#3さんと同じように考えました。(1)は問題の条件からabのどちらかの文字を消去して増減表を書いても可能だと思います（微分をならっていれば）。
(3)は#3さんが(2)の説明の前半でOUTとされたのと同じようになってしまってうまくいかないと思っていましたが、#3さんの回答を見て気づきました。
#3さんの説明にある式を整理すると
(a^n)b+a(b^n)≧2√{(ab)^(n+1)}≧2^(n+2)
となると思いますが、右の不等号の等号が成り立つのはa=b=2のときで、そのとき同時に左の不等号の等号が成り立つので、最小値はa=b=2のとき2^(n+2)ということになるのだと思います。両方の等号が同時に成り立つことを示さないと具合が悪いと思うのですがどうでしょうか。

回答No.2

kumipapa

相加相乗平均は、高１で習いましたっけ？
（１）
１＝１/ａ＋１/ｂの右辺に相加相乗平均を適用する。その後ちょっと変形すればａｂ≧４が得られる。等号成立条件に１/ａ＋１/ｂ＝１を考慮するとａ＝ｂ＝２で最小となることが分かる。

（２）、（３）もそのまま相加相乗平均を適用すればａ＝ｂ＝２で最小値となることが分かる。

回答No.1

noname#50176

(1)abの最小値

1/a + 1/b = 1・・・Ａ
1/a=1 - 1/b
ここで、
1 - 1/b は、1/b に等しいですから
1/a - 1/b = 0・・・Ｂ
と言えます。
この時、ＡとＢの条件を満たすには
1/2 + 1/2=1
1/2 - 1/2=0
で２ですね。
(2)(3)も同じ要領かと思います。