中学マッチ棒

質問

子供が×をもらってきた問題です。
解き方を教えようと思いましたが、私も解けませんでした。
宜しくお願いします。

三本のマッチ棒で正三角形をつくり、ピラミッド状の図形を作ると、
一段目には1個、2段目には3個、3段目には5個三角形ができ、
全体では、9個の三角形ができる。

(1)5段目のピラミッドを作るとき、使うマッチ棒の本数を求めなさい。

(2)ｘ段目のピラミッドをつくるとき、正三角形は全体に何個
　含まれますか　という2問です

(1)正三角形を作るのに3本のマッチが必要で、
一段目は3本。2段目は(３×２)6本必要で合計9本。
3段目は(３×３)9本必要で合計18本
5段目は、3本×(１＋２＋３＋４＋５）＝45本
このように考えたのですが、
これでは、9段目、12段目を問われたとき計算が大変です。
公式があると思うのですが、わかりません。

(2)三角形は1段目は1個、2段目は3個(合計4個）
　3段目は5個(合計9個）
　一段ごとに三角形は2個ずつ増えている。
　ｘ段だと？？？　　分かりません

他のプリントは回答がきているので分かるのですが、
このプリントの回答が見当たらず、正解もわかりません。
宜しくお願いします。

回答No.5

age_momo · ベストアンサー

出題の意図が分からない問題ですね。高校生以上なら簡単に解けます。

(1)はそれでいいです。
公式化するなら(高校の範囲になりますが)等差数列の和の公式を使って
x段作るのに必要なマッチ棒の数は

3x(x+1)/2

となります。x=5を代入すると45になるのが分かると思います。
ただ、あくまで高校の知識なので(1)に関しては公式化を求めていないのだと
思います。

(2)はしばらく書き出してみましょう。

1段目 　　1
2段目　　 4
3段目 　　9
4段目　　 16
5段目　　 25

何か規則性が見つかりませんか？そう、答えはx^2です。
これも等差数列の和の知識があれば簡単に出すことが出来ます。
しかし中学生とのことなので書き出してみて規則を見つける問題なのでしょう。

お礼

ご回答有難うございます。

公式化するなら、高校生の範囲なのですか？
そのことを知って、安心しました。

「等差数列の和」というのも、教科書にでてきていませんので、
「規則を見つける問題」といわれると、スッキリします。

帰ってきたら説明できそうです。
本当に、本当に有難うございました。

回答No.9

debut

Ｎｏ７です。
すいませんでした。(2)は間違いです。
ｘ段目の三角形の個数は２ｘ－１個なので、
三角形の個数は４段目までなら、
△｜△△△△△△△
△△△｜△△△△△
△△△△△｜△△△
△△△△△△△｜△
のようにできるから、４×２×４÷２
つまり、段数×(２×段数－１＋１)÷２＝段数の２乗
でした。

お礼

ご回答有難うございました

何度も有難うございまいた。
参考にさせてもらいます。

回答No.8

glphon

>(1)5段目のピラミッドを作るとき、使うマッチ棒の本数を求めなさい。
　実際に作ってみるのがいいでしょう。
　数理的な解法が全てでは無いです。

　ところで「５段のピラミッドを作るときに使う本数」、と「５段目のピラミッドつくるときに使う本数」では全く解法が違います。
　私は５段目のピラミッドの方で書いてみます。

　１段目は３本、２段目は６本、３段目は９本。
　つまり 3n となります(nは段数)
　５段目を作るには１５本必要になります。

>(2)ｘ段目のピラミッドをつくるとき、正三角形は全体に何個含まれますか
　難しいですね、”全体に”という事は大きさが違っても良いという意味でしょうか。

　１段目では正三角形は１個
　２段目では１段目の１個と２段目の３個、そして全体を枠として１個、の計５個。
　３段目では１段目の１個と２段目の３個、上記の１個に合わせて３段目の５個、更にそこで枠を広げて２個、全体を枠として１個、の計１３個。

　数式は私の頭では作る事ができませんが、解法へ導くのに役立てばと思います。

お礼

ご回答有難うございました。

問題の書きかたが間違っていたようでした。
「5段目の」ではなく、「5段の」でした。
参考にさせてもらいます。

回答No.7

debut

例えば４段目までのマッチを３本ずつまとめて
書き並べてみれば、
3
33
333
3333
となりますが、これをひっくり返したものを
横にくっつけてみると、
3｜3333
33｜333
333｜33
3333｜3
となり、縦に３が４(段数)つ、横に３が５つ(段数＋１)
だけ並びます。この和を求めて２で割ればどの段まで
でも計算できます。
　３×段数×(段数＋１)÷２
(2)の方も、３を１にすれば同じですね。

お礼

ご回答有難うございます

回答No.6

age_momo

#5です。どうも頭が固くなっているようです。投稿してから気が付きました。

中学生なら相似形の面積の性質で説明するほうがいいかもしれません。
マッチ棒3本で作れる正三角形の面積は皆同じです。
これでx段の大きな三角形を作れば面積はx^2倍になります。
(一辺の相似比がxなら面積はx^2)
なので元の小さな三角形の数はx^2個と出す問題なのかもしれません。

お礼

何度も有難うございます

とても分かりやすいです。
有難うございました。

回答No.4

ookuidaore

私は馬鹿ですね
Ｎｏ１さん、Ｎｏ２さんの言ってる事が解りません
難しすぎて

馬鹿は馬鹿なりに考えてみました
（１）は考え方はあってるんじゃないですか
９段目、１２段目が難しいのは足し算が面戸臭いんですか
だったら９段目は９×１０÷２×３本ですか
１２３４５６７８９
９８７６５４３２１
これで９×１０÷２です

（２）は上と同じように考えると
２段目には１段目の三角１個が増える
３段目には２段目に２個が増える
ちょうど逆さまに成ったのが増えますから
たとえば９段目は９×９ですか
１２３４５６７８９
８７６５４３２１
こんな考え方でどうでしょうか？

あまり賢くないですけどまだ足し算と掛け算ぐらいは出来るので
九九は難しい（涙）

お礼

ご回答有難うございました。
参考にさせてもらい、もう一度考えてみます。

回答No.3

juukennbu

下の二つの解答は違います。
(1)はNo.2の方のであってますが、中学ではΣ記号は使いません。
n段目とすると3n(n+1)/2です。
(2)はどちらも違います。
n^2（nの二乗）です。

お礼

早速のご回答有難うございます

当てはめてみると、確かにそうなりました。
でも、どうしてそうなるのか？
３nは3本のマッチ×段数＝その段数に使うマッチの数ですよね？
(ｎ＋１)は？？？？　それを掛け算して、２で割る。

なぜそうなるのか、もう一度考えてみます。
有難うございました。

回答No.2

jicchi2

(1)は n 段目で使用するマッチ棒が 3n 本なので
全部で使用するマッチ棒は Σ[x=0,n]3x
と、数列の和であらわされると思います。

(2)は 2n-1 でいいとおもいます。

補足

早速のご回答有難うございます

問題の書き方が間違っていたようで、申し訳ありません。
(１)　Σは中学で出てきません。
(２)　全体の三角形の数でした。

回答No.1

huhanlasch

（１）は、段数かける３で１５なんじゃないでしょうか？
（２）は、２X－１という文字式が答えじゃないでしょうか？

補足

早速のご回答有難うございます。
問題の書き方が悪かったようです。すみません。

(１)5段目までに使うマッチ棒の数です。

(２)2x－１だと、その段の三角形の数で、全体の三角形の数に
　　　ならないような気がするのですが・・
これも書き方が悪かったようです。
「ｘ段目のピラミッド」ではなく、「ｘ段のピラミッド」です。

書き方が間違っていて、すみません。