最大の自然数mが存在すると仮定した場合どうなりますか？

質問

すみません、以前から考えていたことがありますので、数学の専門家でお詳しい方がいらしたら教えてください。

数学の自然数の公理で、「どんな自然数pにもその後者p+1が存在する」という公理があったと思いますが、もし、最大の自然数mが存在する、という公理のもとに数学を展開させた場合、どの程度の支障が出ますか？

たとえば、われわれの日常生活を送る上ではまったく支障がなく、純粋数学でやっと支障が出る程度のものなのか、それとも根本的に論理展開が進まないような世界になってしまうのでしょうか？（純粋数学で、という意味ではなくてわれわれの現代の日常生活や科学レベルで、の話です。）

たとえば最大の自然数mが存在するとするとあらゆる計算が不可能になってきますが、それはわれわれの生活を脅かすほどの問題でしょうか？

ちょっと言っていることが意味不明かもしれませんが……（笑）分かる方がいましたらお教えください。

回答No.8

麻野 なぎ（@AsanoNagi） · ベストアンサー

No.7 です。
後半訂正します。
「どんな自然数でも次の数が存在する」というのは、ペアノの公理のひとつですが、他の条件の前提となっているような条件なので、

「ペアノの公理のうち、『どのような数にも次の数が存在する』という条件を、他の条件と変えたもので自然数のような体系を構築できる可能性があるということです」

というのは、さすがに無理です。
失礼しました。

と、これだけではなんなので……

たとえば、こんな問題を考えてみましょう。

１，２，３，…… と自然数を並べた時（つまり、次の数、次の数……）と並べた時に、全部の自然数を並べることはできるかどうかという問題です。
一件当たり前ですが（そして、並べることはできる）のですが、「どのような数にも次の数が存在する」というだけだと、実は、別の系列があって、並びきらないかも知れません。

つまり、
１，２，３，……とば別に、
Ａ，Ｂ，Ｃ，……のような自然数の要素が残っているかどうかはわかりません。（それぞれ、個別に、「次の数」が存在するのですから）
これは、ペアノの公理の他の条件と合わせると、系列のスタートとなる数字がひとつしかないことがわかって、従って、１，２，３，……とは別の系列など存在しないことがいえます。

こういう議論は、「実際に自然数全部を並べてみる」ということができないので、自然数の厳密な定義をもとに、矛盾がないように議論を進めるわけです。
ところが、最大の自然数ｍが存在ということになれば、実際に並べてみればわかってしまうことです。
ということで、要素が有限だと、そんなに困ったことはおきないわけです（と、予想されます）

お礼

続けてありがとうございます。
ごめんなさい、No8の追記を読まずに#7にお礼を書いてしまいました……。独立性が成り立たない、という意味でしょうか？？

なるほど、面白い話ですね！　確かに、後者の存在だけでは、並びきるということが言い切れません。最初の数1がひとつしか存在しないという条件がなければ（後者が存在するというだけでは）説明できないという意味ですね？　有限だと確かに大丈夫そうです。

書いているうちに、最大の自然数mが存在するという私の質問の意味自体がだんだん分からなくなってきました、、、ここで言っている「自然数」というのは結局どういう意味の自然数なのだろう、とわけが分からなくなってきました……。自分で質問をしておいてすみません。

回答No.2

Ichitsubo

>もし、最大の自然数mが存在する、という公理のもとに
最大の自然数mが存在することが当然の帰結として出せればそれは公理ですが、当然どころか事実と矛盾するのでそれを公理として数学を展開させる出発点になりえません。
このような事実に反することを公理や法則として話を進めることを、人は「あるある大事典」と呼びます

お礼

ありがとうございます。
事実と矛盾する（？）というのはなぜでしょうか？　確か、いくらでも大きな数が存在するというのは公理だったような気がします……

回答No.1

noname#94374

今　私たちの住んでいる宇宙は限りなく広がっているといわれています
もし、最大の自然数mが存在する場合
宇宙の大きさがmに達した場合のそれ以上の宇宙の広がりを
表せなくなるでしょうね

お礼

ありがとうございます。
最大の自然数mの存在と、宇宙の大きさの表現は数学的に関係ないことだと思うのですが……。最大の自然数mが存在しても、mが具体的にどのような値であるかを知る手立てはないわけですから、、、公理として最大数mが存在することの矛盾を導くことは、宇宙の大きさではできないような気がします。