数学の講師仲間である議論,逆を確かめる必要はあるのか?

質問

こんにちは。高校の数学の講師仲間である議論になりました。
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次の等式が成り立つように，定数a，bの値を定めよ．
lim[x→1](x^2+ax+b)/(x-1)=3
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これを解くのに、
lim[x→1](x^2+ax+b)=lim[x→1]{(x^2+ax+b)/(x-1)}(x-1)
=lim[x→1]{(x^2+ax+b)/(x-1)}lim[x→1](x-1)
=3*0=0
だから、
1+a+b=0
b=-(a+1)を与式に代入して、約分して、
lim[x→1](x+a+1)=3
より、
1+a+1=3
a=1、また、b=-2

ここまでは異論ありませんが、その後、
「逆にa=1、b=-2のとき、与式が成立する」
と逆が成り立つことを書いておく必要があるかないか、議論になりました。
ある人は、書くべきだ、生徒にもそう指導すべきだ、といいます。
ある人は、特に書くべきでない、書くべきというならすべての数値決定問題に書くべきだが実際にはそうなっていない、なぜこの場合だけ特別視して逆を確かめるのか、といいます。

どうなのでしょうか？

回答No.20

hiccup

ANo. 13 です。
「逆を確かめなかったばかりに失敗する例」を与えることができれば解決なのにと思いながら先の投稿をしました。今もちょっと考えましたが、思いつきません。しかし、そのような例は存在しないとも主張しません。

私は、高校数学の問題で、必要条件として解が１つでた場合、これが答えだと確信します。しかし十分性を押さえていなければ、それをきちんと確認します。
話題とされている問題も、経験的にそれが答えとなることを知っていますが、それでも逆を押さえます。

指導という点では、予備校は生徒を大学に入学させることを主目的としているわけであり、数学を厳密に教えることを目的としているわけではありませんから、あなたの方針は戦略的には優れていると思います。しかし、十分性を確かめないことを苦々しく思っている人もいるということは忘れないでください。

と、投稿して終わろうと思いましたが補足を要求します。

>> （頭の中では同値変形してます。）
>> 求まった時点で、a,bは存在すると認識するべきだと僕は考えます。

存在の確認をするのは極限値の方ですよ。また、同値変形しているとはどこのことですか？

お礼

すみません、

lim[x→1](x^2+ax+b)/(x-1)=3
⇔
lim[x→1](x^2+ax+b)/(x-1)=3かつlim[x→1](x^2+ax+b)=0
⇔
lim[x→1](x^2+ax+b)/(x-1)=3かつ1+a+b=0
⇔
lim[x→1](x+a+1)=3かつ1+a+b=0
⇔
1+a+1=3かつ1+a+b=0
⇔
a=1かつb=-2

という思考過程に不備があれば教えてください。

回答No.19

lick6

#12 です。
>lim[x→1](x^2+ax+b)/(x-1) = 3 かつ lim[x→1](x^2+ax+b) = 0
これを a , b が同時に満たしてくれる確証はどこにもありませんよね。
ここから先 1 + a + b = 0 を使っていくに当たって
もしこれらを同時に満たす a , b が存在するならば・・・という意味が内在していると思います。
存在するならば a = 1 , b = -2 であり、逆にこれらを代入して十分性を確かめることで「存在するならば」が「存在する」となり必要十分になるのではないでしょうか？

お礼

>>lim[x→1](x^2+ax+b)/(x-1) = 3 かつ lim[x→1](x^2+ax+b) = 0
>これを a , b が同時に満たしてくれる確証はどこにもありませんよね。

それは確かにそうです。a,bは存在しないかもしれない。
その後、1 + a + b = 0 を使って、a = 1 , b = -2 が求まります。
（頭の中では同値変形してます。）
求まった時点で、a,bは存在すると認識するべきだと僕は考えます。

回答No.18

mis_take

> √x=x-2
> ２乗して、x=x^2-4x+4
> 整理して、x^2-5x+4=0
> 因数分解して、(x-4)(x-1)=0
> ここで与式の右辺≧0より、x=4

これは，元の問題とは事情が違うと思います。
4行目が必要条件で，5行目で十分性をチェックしているからです。

√x=x+2/9
x=(x+2/9)^2
x=x^2+4/9x+4/81
x^2-5/9x+4/81=0
(x-1/9)(x-4/9)=0
ゆえに，x=1/9,4/9

これは，どうでしょうか。
2行目の式より，x≧0 したがって x+2/9≧0 なので，1行目と2行目は同値です。
（もちろん，それ以降はすべて同値です。）
しかし，この解答を読む人が誰でも，そこまで理解するかというと，そうではないでしょう。
だれもが納得できる解答でなければ不十分だと思います。

元の問題に戻って
私は，「これで必要十分になっている」と理解できます。
ただし，「行間を読んで」ANo.10の回答へのお礼のように解釈したからです。。
行間を読むということなしに理解できる解答でなければ減点されてもしかたがない，論理的に正しければよいというものではない，と思います。

お礼

ほぼ同感します。グッドな例をありがとうございます。

√x=x+2/9
x=(x+2/9)^2
x=x^2+4/9x+4/81
x^2-5/9x+4/81=0
(x-1/9)(x-4/9)=0
ゆえに，x=1/9,4/9

という模範解答はよくないですね。最後に「逆にx=1/9,4/9は与式を満たす」と書いたり、最初に与式を２乗する時点で、
√x=x+2/9
⇔
x=(x+2/9)^2かつx+2/9≧0
⇔
x=(x+2/9)^2
などと同値変形すべきですね。

高校数学の教科書や模範解答では、「逆にx=1/9,4/9は与式を満たす」を書くほうが推薦されるべきと感じます。
予備校の講師などは、同値変形したほうが、カッコいいかもしれません。

元に戻って、質問に書いた解答で、「逆にa=1、b=-2のとき、与式が成立する」を書くべきかどうか。
予備校の講師などは、教える人にとっての自由はありそうです。
高校数学の教科書や模範解答では、書くべきかどうか。
現実の教科書や模範解答では、書いてあるものも書いていないものもあるように感じます。
僕は「書かないべきだ」と主張したいですが、その現状も受け入れるべきなのでしょうね。

回答No.17

fool_ish

私は，
A：同値変形であるときは，その旨を明記せずともよい；
　 同値変形でない場合には，必要/十分の別を記す必要がある
と，
B：1行ずつ読むだけで筋が通るのが模範解答である；
　 （読者が，逆をたどることをかってに期待しない）
との2つの理由により，
1. 質問文の答案は模範解答としては不十分で，
　 1+a+b=0が必要条件であること，および，
　 b=-(1+a)を代入するという操作が「逆」であること
　 とを明記する必要がある
と考え，#8に答案例を示した．また，
2. お礼の文にある解答は，同値変形であることが明記されているから，
　 当然，十分であることを確認する必要がない
ことは確かだが，
質問文にある解答と，お礼文にあるような解答とは異ならない
とする主張には，
3. 質問文の解答は，必要/十分の区別が書かれていないにもかかわらず，
　 読者がそれを自主的に確認する必要がある箇所が存在するのに対して，
　 お礼文の解答は，1行ずつが同値変形で通っている
という理由で，反対する．

なお，
C：生徒にどのように指導すべきか
という問題と，
D：生徒の答案をどのように採点すべきか
という問題は，切り離して考える必要がある．
質問文にあるような答案を見せられたとき，減点すべきか否か
と問われたら，それは採点者の裁量で統一してよいと答えるが，
質問文にあるような答案を，模範解答として生徒に示すべきか否か
と問われたら，上記の理由で私は反対する．

いずれにせよ，これはどのような立場で生徒を指導するのかという点で
決まる問題であるから，まずはご自分の立場を明確にする必要があろう．
前にも書いたとおり，私は
「明らかならば省略してよく，省略した解答を無言で模範解答とする」
とする立場で指導することは，明らかさの加減が明らかでない，
という理由で反対である．
これも，省略された解答を減点するかどうかとは別の問題である．

私は，たとえくどくとも，誰が見ても妥当であるのが模範的な推論である，と考えている．

お礼

>質問文にあるような答案を，模範解答として生徒に示すべきか否か
と問われたら，上記の理由で私は反対する．
>いずれにせよ，これはどのような立場で生徒を指導するのかという点で決まる問題であるから，まずはご自分の立場を明確にする必要があろう．

僕自身の立場もいろいろありまして、「予備校講師らしくかっこよく教える」立場と、「数学者らしく厳密に書く」立場と、「教科書執筆者らしく簡素さにも重きを置く」立場があります。
（実際には、数学者でも執筆者でもないですが）

そのいずれの立場であっても、質問の解答は模範解答である、と主張したいです。
僕がお礼で述べた同値変形による解答は、分かりやすさや、解答の慣習という点で劣る。
また、質問の解答の後に「逆にa=1、b=-2のとき、与式が成立する」を書くことは蛇足だと主張したいです。

そして、賛成の人、反対の人がいるのは事実のようです。
お互いが主張したあと、その後はどうしたらいいでしょう。
再び主張したらいいでしょうか？
説得することをあきらめるほうがいいでしょか？

回答No.16

adinat

人の意見にけちをつけるのもどうかと思うので、僕は自分の考えるまでを論拠を示して述べるにとどめるのが筋だと思っていましたが、遠まわしに嫌味を言われた気がするので、再度回答します。

Q:十分性をわざわざ確かめる必要がこの問題についてあるか？

これに対する僕の答えは、「不要」。で、さらに付け加えると、この問題で、もし十分性をわざわざ確認した答案と、言及しなかった答案があったとして、そこに差をつけるか？これも「No」です。ともに満点にします。それは必要条件を求める計算が、十分性が明らかであるということが目に見える形で推移しているからです。もちろん要不要を考えず、書いてない答案もあるでしょう。教育的配慮として、十分性の確認を怠ったことを減点にしてもよいかも知れないですが、あくまで、この問題に関して十分性の証明を書くことは「蛇足」に過ぎないと、質問者様同様僕も考えます。

ただ僕の哲学としては上の通りですが、実際問題、逆が明らかであるだけで、ある意味ではその明らかな逆をきちんという必要があるというのも事実です。そういう意味では、「逆は明らか」と書いている答案がベターだと僕も思いますが、この問題に関しては、それ以外に減点にする理由が見つかりません。またこれは不備に値するほどのことではなく、数学的に論証が不十分であると結論するまでには至りません。

で、実際問題、試験で出たらどうするんだ？ということですが、これはあくまでも想像にしかなりませんが、「減点をされる可能性はありうる」が正しい答えのように思います。"個人的には"これで減点をするというのは嫌がらせ、あるいは問題の不備であって、十分性の確認を問うような問題にしたいのであれば、問題が悪い、と考えます。この問題は不定形極限の形になる条件、そしてその場合の不定形解消を問うだけの数値決定問題だからです。でも誰にどうつつかれようと完全な答案を書け、と教える派もいるでしょう。これはこれで悪くないと思います。ただ、あくまで僕のスタンスは上で述べたようなことだ、ということです。そしてこの考え方は間違ってはいないと僕は思っています。

>ANo.15様
軌跡の問題の例の挙げ方が不適切だと批判されましたが、あくまで、「十分性のチェックが必要なのか否かの判断、あるいは必要だとしてそれをきちんと答案に書くことが難しい例は他にもある」であげたのです。実際、軌跡の問題を解く過程で、議論を完全に逆にたどって、十分性が明らかな問題も存在します。このタイプの問題の場合（除外点、あるいは除外集合が存在しない問）、模試等でもそうですが、減点対象にしないことも多いです。この点も実際判断が難しいところで、「明らか」との一言を書けば済むことなのですが、それがないからといって減点にはしないという方針もあるのだ、ということです。もちろん非自明な場合や、除外点などが存在する場合は不完全解答で、減点になりますけれども。

お礼

高校生を指導する立場としましょう。
それでも「議論」が終わりそうにありません。
「逆にa=1、b=-2のとき、与式が成立する」と逆が成り立つことを書いておく必要があるかないか。
人によって意見が分かれそうです。
「書いておく必要がある」「書いておいたほうがいい」と指導する人もいます。
僕は、「不要」「蛇足」と指導します。
ここらへんは数学上の正しさというより、記述の慣習などが影響しそうです。

でも、だからといって、僕は「人によって違う」と妥協したくありません。「書いておく必要がある」と指導する人がいたら、「どうしたものかな」と思ってしまいます。
もっとみなさんのご意見を伺いたいです。

ちょっとズレますが、次の例を。
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次を解け。
√x=x-2
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２乗して、x=x^2-4x+4
整理して、x^2-5x+4=0
因数分解して、(x-4)(x-1)=0
ここで与式の右辺≧0より、x=4

この後、「逆にx=4のとき、与式を満たす」を書いておけ、と指導すべき？すべきでない？

回答No.15

mister_moonlight

＞たとえば、教科書を執筆する立場、教科書を検定する立場であれば、どのように記述すべきでしょうか。

私はその立場にいませんので断言できません。

＞「蛇足」は答案としては許されても、教科書では歓迎されないと思います。

それが蛇足であると断定するなら、貴方は初めから質問する必要はないでしょうね。
それと、歓迎されるかどうかではなく、必要か不要かの問題ですよ。
何か感違いしてませんか？

お礼

>私はその立場にいませんので断言できません。

では、高校生を指導する立場としましょう。
それでも「議論」が終わりそうにありません。
「逆にa=1、b=-2のとき、与式が成立する」と逆が成り立つことを書いておく必要があるかないか。
人によって意見が分かれそうです。
mister_moonlightさんは、「書いておく必要がある」と指導するのですね。
僕は、「特に不要」と指導します。
ここらへんは数学上の正しさというより、記述の慣習などが影響しそうです。

でも、だからといって、僕は「人によって違う」と妥協したくありません。「書いておく必要がある」と指導する人がいたら、「どうしたものかな」と思ってしまいます。

もっとみなさんのご意見を伺いたいです。

回答No.14

mister_moonlight

＞でも、回答いただいた方でもご意見が割れるように、参考書の模範解答でも意見が割れています。

これが大学入試問題なら、採点者の判断になるでしょうが、公平を期すために採点者間で判断は当然統一されます。
従って、十分条件まで言及している答案としていない答案とでは差を付けられても致し方ないでしょう。
答案としては、十分条件についても考慮している方がベターなのは当然ですから。

それと、この問題の十分条件と軌跡を求める場合の十分条件を同一視されている方がいますが、比喩としては不適当でしょうね。
軌跡は“限界”を持つ場合がありますから、その限界については“当然”にも触れるべきでです。
触れていない答案は、“不十分解”として判断されます。
又、“軌跡の方程式を求めよ”というのと“軌跡を求めよ”というのは異なります。

お礼

＞従って、十分条件まで言及している答案としていない答案とでは差を付けられても致し方ないでしょう。

質問で述べた解答に、「逆にa=1、b=-2のとき、与式が成立する」をつけくわえて、十分条件を考慮することは蛇足に思えて仕方ありません。

たとえば、教科書を執筆する立場、教科書を検定する立場であれば、どのように記述すべきでしょうか。
「蛇足」は答案としては許されても、教科書では歓迎されないと思います。

回答No.13

y_akkie

#7です。言い忘れた事があったので、再度回答をさせていただきます。

=lim[x→1]{(x^2+ax+b)/(x-1)}lim[x→1](x-1) = 0
については、lim[x->1]{(x^2+ax+b)/(x-1)}=3を持つための必要条件です。
例えば、lim[x->1]{(x^2+ax+b)/(x-1)}=1などの場合でも成立しますので、
1 + a + b=0だけであれば必要条件です。この段階では定数の極限値を持つための条件だけです。しかし、次のlim[x→1](x+a+1)=3によって、極限値が定数であってかつその値が３である条件を上げているので、この段階で必要十分条件になるのではないでしょうか。
ただし、lim[x->1]{(x^2+ax-2a)/(x-1)} = 3となるようなaの値を求めよという設定の問題であれば、(1+a-2a)=0という段階で、a = -1という解を得る事になり、必要条件の段階で解が求まっているので言うまでもなく極限値が３である保証はないので、検証をする必要があります。
だが、今回の場合は当然ながら、lim[x→1](x+a+1)=3という条件で極限値が必ず３になる事、それを満たすa,bの値である事は言うまでもないので、検証するまでもないというのが、私の考えです。

お礼

同感です。ありがとうございます。

この種の問題は、教科書にも参考書にも多く載っています。
それでも、逆を確かめている解答と、確かめていない解答とバラツキがあります。
ここで回答いただいたみなさんにもバラツキがあります。

回答No.12

hiccup

>> lim_{x->1}{(x^2 + ax + b)/(x-1)}が存在して３であることは、すでに問題文に与えられていると思います。

問題文を、「lim_{x->1}{(x^2 + ax + b)/(x-1)} が存在して、それが３であるようにしなさい」と私は読みます。
私だったら ANo.3 さんと同じく極限値の存在を仮定するところから解答を始めるので、最後に存在の検証を書くでしょう。

実は、ANo.8 さんへのお礼コメントを楽しみにしているのですが .....。

お礼

この種の、極限に関する定数決定問題で、たとえば、

「lim_{x->1}{(x^2 + ax + b)/(x-1)}は本当は存在しないのに、存在するとして解いたら、間違った結論になった」
とか
「逆を確かめなかったために無縁根を結論としてしまった」

というような危険な例があれば教えていただきたいです。
たぶん、そんな例はないと思いますが。

回答No.11

lick6

検証したほうがいいと思います。
結果からいえば、極限が３になるように解いているのであるから当然十分性もついてくると思いますが
b = -(a + 1) を使うに当たってはあくまで必要条件であり同値で簡単に結んでいいものとは思いません。

問題を作る側としてこの問題を採点するときに何をポイントとして見るかといったら必要、十分をちゃんと考慮しているかを見るのではないでしょうか？

お礼

ありがとうございます。

lim[x→1](x^2+ax+b)/(x-1)=3
⇔
lim[x→1](x^2+ax+b)/(x-1)=3かつlim[x→1](x^2+ax+b)=0
⇔
lim[x→1](x^2+ax+b)/(x-1)=3かつ1+a+b=0
⇔
lim[x→1](x+a+1)=3かつ1+a+b=0
⇔
1+a+1=3かつ1+a+b=0
⇔
a=1かつb=-2

模範解答では分かりやすく日本語を多用していますが、頭の中では、上記のような構造です。
ですので、十分条件を確かめなくていいというのが僕の考えです。