#1の方のように、速やかに共済組合宛てに連絡してください。失権の手続きとなります。お母様はご存命でしょうか。お母様が同居していれば、そのときに遺族共済年金の手続きも行うことになります。
また、速やかに手続きせず、12月にも支払いとなってしまった場合、それは本来受け取れないものなので、全額過払い金として返還しなければならなくなります。時間もございませんのでお早めに。
なお、10月に支払われた年金は、8月、9月分の年金であり、亡くなられた月までは受給権はありますので、返還義務が生じることはありません。
このほか、#2の補足ですが、もしもお父様が生前、純粋に公務員の期間しか有していなかったならば(国民年金、厚生年金等の国家(地方)公務員共済以外の期間がない場合)、共済組合が基礎年金の支払い代行を行っていますので、別途社会保険庁に連絡する必要はありません。
いずれにしても、共済組合に連絡すればその辺のことは確認できますので、まずは共済組合に。