Limitの公式の証明

質問

『ε>0,δ>0
0<|x-c|<δ→|f(x)-L|<ε
と与えられる時
lim(x→C)f(x)=L.
となることを証明せよ』
という問題なのですが、

|f(x)-L|<εより、f(x)-ε<L<f(x)+ε
という式が求まり、εの値が0であればL=f(x)になるので、なんとかならないかなぁ。と思ったのですが、どうにもなりません。
どなたかアドバイスお願いします。

回答No.4

mmk2000

皆様の言うとおりでした。
ε-δ論法の定義そのもので、「定義」なので証明しようが無いんですね…

どちらかと言うとε-δ論法の否定はどうなるか、と言う問題を出されて何度も駄目だしをされた記憶が蘇りました…

回答No.3

kabaokaba

εδですが
もっとも大事なものが落ちてます．

任意のε＞０に対して
あるδ＞０が存在して
0<|x-c|<δ→|f(x)-L|<ε
であるならば
lim(x→c)f(x)=L
を示せ

ということなのでしょうか？

結局，No.1さんと同じです

lim(x→c)f(x)=L
の定義は何ですか？

普通は，

関数の定義域内の点xを固定する．
任意のε＞０に対して
あるδ＞０が存在して
|x-c|<δ→|f(x)-L|<ε
となるときに
lim(x→c)f(x)=L
であるという

というのが定義なんですが．

補足

どうやら、いかなる数ε>0についても、δ>0が存在していて、
いかなるxについて0<|x-c|<δ→|f(x)-L|<ε
であるならば
lim(x→c)f(x)=L
を示せ

ということみたいです。
英語の教科書なので、きちんと理解できていませんでした。

回答No.2

mmk2000

懐かしいε-δ論法ですね。

今すぐはちょっと思い出せないですが、結局どんな正の数εをとっても条件を満たすδが存在するのだから、εを都合の良い正の数でとってやって挟み撃ちをすればいけそうですね。

回答になってなくてすみません。。。

回答No.1

eatern27

>lim(x→C)f(x)=L.
こういう関数の極限はどのように定義されていますか？