疑似乱数の精度の違い

質問

こんにちは。今、学校で疑似乱数について習っています。
中心極限定理とボックス・ミュラー法について習いました。
そこでこの二つの方式の精度は違うのですか？
各方式について書いてあるHPは見つけましたが比較しているHPが見つかりませんでした。
違いを知っている方、違いが書いてあるHPを知っている方がいればぜひ教えてください。
ヒントでもいいのでささいなことでも教えてください。
よろしくお願いします。

回答No.1

adinat · ベストアンサー

U1,U2を(0,1)上の一様分布に従う確率変数(乱数)とするとき
Z1 = (-2logU1)1/2cos(2πU2)
Z2 = (-2logU1)1/2sin(2πU2)
これらの二つは独立な正規分布に従う確率変数(乱数)になります。それは元の分布が正しく一様分布であれば、正確に正規分布です。制度云々ではなくて、完璧に正規分布なのです。

一方、中心極限定理というのは、乱数云々というところでもともと使われるものではなくて、適当な可積分条件を持つ独立同分布な確率変数の和が正規分布に弱収束する、という類の定理です。したがって一様分布から正規乱数を生成するのであれば、要するに無限個の独立な一様分布を容易する必要があります。これは実現不可能なので、実際は途中で打ち切ることになりますが、その誤差は三次モーメントによって、ベリー・エシーンの定理による上限が知られています。

ともかく、一様分布がたとえばrand関数などで与えられていると仮定するなら、それから正規乱数を作るとして、圧倒的にボックス・ミュラー法の方がよい、ということになります。もちろん、独立な一様分布を発生させなければならないので、その意味では、完全に正確な正規分布かどうかは分からないわけですが、それを差し引いてもボックス・ミューラー法の方がよいでしょう。

あるいは、たとえば独立なベルヌーイ分布が与えられたとして、というシチュエーションならば、そこから一様分布を作るのはわりに大変な操作になるので、そういう場合は中心極限定理を使って、正規分布に弱収束させるというのは一案です。

ですが、どちらのほうが精度がいいか、という問いはほとんどナンセンスであって、あえて答えるなら比べ物にならないぐらいボックス・ミューラー法のほうがよい、ということになるかと思います。