微分するとはなんぞや？

質問

微分するってどういうことでしょうか？
その際に導関数や極限値などの単語を使うとき
その意味も教えてください。あと、教科書見てくださいという
解答はやめてください。教科書は定義っぽくて
よくわかりません。さらに限りなく近づけるって
どこまで近づけるのかっていうのがわかりません。
数では表せないのでしょうか？

回答No.2

ymmasayan

「微分」とはある関数の任意のＸにおける接線の傾きをＸの関数としてあらわすという事です。接線の傾きを現す関数を「導関数」と言います。

「微分する」と言うのをもう少し具体的に言うとごく小さな値Δｘを考えます。
関数ｙ＝ｆ（ｘ）の接線の傾きの近似値はｘとｘ+Δｘを使って

接線の傾き＝Δｙ／Δｘ＝（ｆ(ｘ+Δｘ）－ｆ(ｘ))／((ｘ+Δｘ）－ｘ）

ここでΔｘをどんどん小さくしていきます。０になる直前まで限りなく小さくして、しかも０にしてはいけません。この考え方を極限と言います。Δｘが０になると接線の傾きは0/0で「不定」になってしまいます。

例をあげます。切り立った崖があります。崖から落ちない範囲で、限りなく崖っぷちに近づけ！
このとき、落ちる瞬間に初めて崖っぷちの限界を知る事が出来ます。
崖っぷちから0であってはいけないが、考え方（落ちてみて判る）によっては０でもあるという不思議な世界が極限の世界です。

限りなく近づけると言うのは、数字では表せません。落ちてみて体得すべきものです。

回答No.1

noname#5277

微分するというのは、簡単に言えば接線の傾きを求めることです。

導関数というのは、xの値が変化するにつれて
接線の傾きがどのように変化するかを表した関数です。

極限値っていうのは、説明するのが難しいですね。
例えば
　　　　x^2-1
ｙ＝ ------
　　　　x-1
なんてのがあったときに、分母が０になってはいけないので、
x=1という値は上の関数には代入してはいけないわけです。
でも、xが1でなければ、分母を因数分解して
　　　　(x-1)(x+1)
y= ----------- = x+1
　　　　　　x-1
となるので、これは直線になりますね。
つまり、はじめの関数は、基本的には直線なのですが、
x=1のところだけ抜けているグラフ、ということになります。
でも、x=1はダメでも、直線にしか見えないわけですよ。
そこで極限値というのが現れます。
つまり、x=1はダメなんだけど、仮に代入したら、、、
とでも考えれば十分だと思います。