整数問題
出典:東京出版、新数学演習 問題1・13より
解答を読み進め、以下で進まなくなりました。
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"4桁の整数で。その下2桁の数と上2桁の数との和の平方と等しくなるものを求めよ。"
解答)
上2桁をa、下2桁をbと置く
100a+b=(a+b)^2
a^2+2(b-50)a+b^2-b=0
a=50-b±√(50^2-99b) …(1)
このaが整数であるための条件は√の中が平方数であることで、そこで、
50^2-99b=n^2 (nは0以上の整数) …(2)
とおくと、まず0≦n≦50であり、(2)の両辺を9で割った余り
(左辺の余りについては暗算で7)について考えると
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ここまでは完全に理解できています。問題は以下。
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nは9で割ると余りは4or5 …(※)
(以降略)
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この1文でつまずいています。
本解答は以降、同様に11で(2)の両辺割った余りを考察し、
0≦n≦50でこれらを満たすn(n=5,49,50)を求め、(1)(2)から整数解を
出しています。(解:2025、3025、9801)
この流れは理解できますが、上の一文だけは展開矛盾を感じています。
こういう形でなく、
"n^2を9で割った余りが7になる最小のnは4or5"
という言い回しなら分かりますが、(※)は
n^2ではなくnについて言っています。
しかも4と5を余りといっています。
ただ本誌も何年も刊行されてますし、誤植ものではないと思います。
合同式の知識が浅はかなので、その辺で私が読み取れていない部分が
ありそうですが、有識な方の解説を頂ければ幸いです。
お礼
早速回答をいただき、ありがとうございました。