計算の方法がわかりません。教えてください。

質問

算数が全く苦手なので、次の問題について教えてください。

●前提
・Ａは１００万円持っています。
・別表１に示す一定の勝敗確率で運用します。
・別表２に示す同じ幅の利益又は損失が発生します。

別表１（勝敗確率）
（Ａ）勝ち８０％対負け２０％である
（Ｂ）勝ち７０％対負け３０％である
（Ｃ）勝ち６０％対負け４０％である
（Ｄ）勝ち５０％対負け５０％である
（Ｅ）勝ち４０％対負け６０％である

別表２（損益幅）
（あ）損益幅は２５万円である
（い）損益幅は２０万円である
（う）損益幅は１０万円である
（え）損益幅は５万円である
（お）損益幅は２万円である

上記の、それぞれの組み合わせの場合で、１００万円分の「ドローダウン」が生じる発生確率、といったものを計算したいのです。
計算式と答えを教えてください。

なお、ドローダウンというのは、損益の発生履歴曲線を描いたときに、直近の一番高い値からの下落幅のことを言います。

例えば、（Ａ）勝率８０％と、（お）損益幅２％の組み合わせであるときに、少なくとも２０連敗すれば１００万円のドローダウンが生じます。また、１９連敗のあと１勝してその後２連敗しても１００万円分のドローダウンが生じます。

これは微分とか積分とかいう計算で算出するのでしょうか、なにぶん数学は高校１年生のとき以来やってないので微分とか積分が何なのかすら知りません。

質問にわかりにくい箇所、不十分な箇所があればご指摘ください。
よろしくお願い致します。

回答No.9

eatern27 · ベストアンサー

#8です。

＞N(0)=pN(0)+(1-p)N(1)+1
＞N(i)=pN(i-1)+(1-p)N(i+1)+1　(i=1,2,…,n-1)・・・★
＞N(n)=0
から、N(0)を求める方法ですが、やっている事は四則演算だけだったので、求め方を書いておきます。ま、必要なければ、読み飛ばしてください。

まず、F(i+1)=rF(i)
が任意の自然数(0を含む)iで成り立つとします。この時、
F(i+1)=rF(i)=r^2F(i-1)=…=r^iF(1)=r^(i+1)F(0)
最初と最後だけ取ると、
F(i+1)=r^(i+1)F(0)が成り立ちます。…◆
この事を頭に入れておいてください。

N(i)=pN(i-1)+(1-p)N(i+1)+1　(i=1,2,…,n-1)…★
を変形すると、
N(i+1)-(p/(1-p))N(i)+(i+1)/(1-p)=N(i)-(p/(1-p))N(i-1)+i/(1-p)　(i=1,2,…,n-1)
が成り立ちます。◆より、これは結局、
N(i+1)-(p/(1-p))N(i)+(i+1)/(1-p)=N(1)-(p/(1-p))N(0)+1/(1-p)　(i=1,…,n-1)
となります。これと、N(0)=pN(0)+(1-p)N(1)+1からN(1)を消去すると、
N(i+1)-N(i)+(i+1)/(1-p)=((1-2p)/(1-p))N(0)　(i=1,…,n-1)…▲
となります。

また、ｐ≠1/2の時、★は
N(i+1)-N(i)+1/(1-2p)=(p/(1-p))(N(i)-N(i-1)+1/(-2p))　(i=1,…,n-1)
とも変形できます。この式と◆から、
N(i+1)-N(i)+1/(1-2p)=((p/(1-p))^i)(N(1)-N(0)+1/(1-2p)　(i=1,…,n-1)
となります。N(0)=pN(0)+(1-p)N(1)+より、N(1)を消去すると、
N(i+1)-N(i)+1/(1-2p)=((p/(1-p))^i)p/((1-p)(1-2p))　(i=1,…,n-1)…▼
となります。

(1-p)*▲ー▼*pを計算すると、
(1-2p)N(i+1)+(i+1)-p/(1-2p)=(1-2p)N(0)-((p/(1-p))^(i+1)*p/(1-2p)

この式はi=n-1を代入しても成り立ちますよね。
(1-2p)N(n)+n-p/(1-2p)=(1-2p)N(0)-((p/(1-p))^n*p/(1-2p)
となります。N(n)=0に注意して,"N(0)="と変形すると、
N(0)=[n-{1-(p/(1-p))^n}*p/(1-2p)]/(1-2p)
となります。

p=1/2の時、▲は
N(i+1)-N(i)=-2(i+1)　(i=1,…,n-1)
のようになります。辺々をi=1からn-1まで足すと
N(n)-N(1)=-n(n+1)+2
となります。(この変形が分からなければ、こうなるんだと納得してください。でも、必要なら説明します)
N(1)=N(0)-2,N(n)=0から、
N(0)=n(n+1)
となります。

お礼

本屋さんで難しげな算数の本をいくつか立ち読みしてたんですが、不覚にも店先で泣き出しそうになってしまいました（●＿●。。。）
どうも関数とかのドリルからやり直さないとダメみたいです。
本項、ちょっとじっくり考えて読み解くよう努力してみたいと思います。
先のご回答にありました答えはオバカなので現状は検証しようがございませんが、大切に仕事に利用させて頂きます。
何度も本当にありがとうございました。

回答No.8

eatern27

すいません。１つ忘れました。

＞初手からわかる教科書などがあれば教えて貰えると嬉しいです。

まずは、高校で実際に使われている教科書や、高校生用(大学受験用)の参考書等がよいと思います。

どの参考書・教科書がよいか、と聞かれると、その辺りには疎いので、困ってしまうですが、聞くところによると、チャート式とかは分かりやすいそうです(私は、チャート式を本屋で開いたことすらないので、実際にどうなのかは分かりませんけど)。

でも、できれば、他の方の意見を参考にした方がいいかもしれません。

回答No.7

eatern27

＞漸化式ですか。。聞いたことがありません。。。ゼンカシキというのでしょうか。。。

うーむ、漸化式が聞いたことがないとなると、説明するのは難しいですね。(「ゼンカシキ」と読むので正しいです)

勝率をｐ、損益幅を100万/n円
(それ時点までの)最大値から100万*k/n円低いときの、ドローダウンするまでの期待値をN(k)とします。(ここで、求めたいのはN(0)です。)

N(0)=pN(0)+(1-p)N(1)+1
N(i)=pN(i-1)+(1-p)N(i+1)+1　(i=1,2,…,n-1)・・・★
N(n)=0

となります。ここから、N(O)をゴリゴリ計算すると、#4に書いたような答えが出てきます。(具体的な導出方法は必要なら書きますが、難しいと思います)

ちなみに、★のような、i-1番目,i番目,i+1番目の項の関係式の事(i番目とi+1番目だけでもいいし、４つ以上の項の関係式でもよい)を漸化式といいます。一般的な漸化式からa[n]を求めるのは難しいですが,ある種の漸化式(例えば、この問題の漸化式)は、その漸化式の形に応じた変形をすると、a[n]を求める事ができます。

あと、（A)～（E)、（あ)～（お)それぞれについて、具体的な期待値を書いておきます。(上の段から順にA,B,C,D,E。左の列から順にあ,い,う,え,おです。例えば、勝率0.7で損益幅２５万は、115.31回です。また、2.44E+12とは、2.44×10^12という意味です)

560.0　　2265.　　2.33E+06 2.44E+12　2.82E+30
115.3　　285.7　　2.09E+04 1.00E+08　1.10E+19
40.94　　73.91　　799.98　　4.98E+04　9.56E+09
20.00　　30.00　　110.00　　420.00　　2550.00
11.98　　16.32　　40.17　　　90.00　　240.00

＞「ｋ；ｎ」っていうのは例えばエクセルで表現しようとするときには、どうしたらいいのかわからない、ということです。

f(x)という関数だって、エクセルでは表現しにくいですよね。p(k;n)というのも一種の関数ですから、エクセルでは表現しにくいと思います。

お礼

おおおおおお。。。。
答え、計算していただきまことにありがとうございました。
しかし残念ながらいまのぼくにとってはフェルマーの最終定理とどっちが難しい問題なのかわかりません。
わざわざ四則演算で解けるという補足までご説明頂いておりますので、なんとか頑張って証明に漕ぎ付けたいと思います。

回答No.6

kony0

p(k;n)についてなのですが・・・
どのnに対しても、p(0;n)+p(1;n)+p(2;n)+…とkを0から順番に無限に足していくと、その和が1になります。
そういう意味で、「kが変数、nが固定値」というのを強調すべくこのように表記しました。ま、そんなに気にしないで下さい。

あと、ついでに「ドローダウン」の定義を、質問文を読まないまま勝手に「破産」と解釈してました。（汗）
#3の回答は、無視してください。すみません。

お礼

残念ながら「；」は未だに完全にわかったとはいえませんが、なんとなくおっしゃりたいことはわかるような気がしないでもありません。
abcがわからないで英文読解の質問をしてるみたいなものなので、わからないのは当方の問題だと思います。お気になさらないで下さい。
また、考え方としてはまさに「破産確率」を考えたかったのであって、１００人が同条件でスタートしたら一人は破産する確率があるのか、１０万人が同条件でスタートしたら一人は破産する確率があるのか、という切り方をすれば、破産確率と言ってしまっても語義として間違いとは言えないと考えております。間違いだったらどうしよう・・・
何度もご回答いただきありがとうございました。
そろそろいいオッサンですが算数の勉強もやり直してみたいと思います。

回答No.5

eatern27

#4です。

すいません、ドローダウンについて質問なんですが、
(1)
スタート（１００万）→２００万未満→２００万→１００万より大、２００万以下→１００万→２００万未満→２００万
この時点で、「１００万円のドローダウンが発生した」というのですか？

＃４では、
スタート（１００万）→２００万未満→２００万→１００万より大、２００万以下→１００万
この時点で１００万のドローダウンが発生した、というのだと思って回答しました。

(2)
(1)が正しいのなら
スタート（１００万）→２００万未満→２００万→８０万より大、２００万以下→８０万→２００万未満→２００万
のように推移した場合、「１２０万のドローダウンが発生した」となると思いますが、
・２００万になった時点で、「１００万(以上)のドローダウンが発生した」という。
・８０万になった後、初めて１８０万になった時点で「１００万のドローダウンが発生した」という。
・１００万より大きいドローダウンは「１００万円のドローダウン」の中に含めない。

が考えられるのですが、どれでしょうか？（この選択肢の中に正しいものがないのなら、正しいものを書いてください）

おそらく、この部分さえはっきりすれば、解けると思います。（もしかしたら、さらに、問題が出てくるかもしれませんが…その時は、さらに補足をお願いします）

ちなみに、この問題に微積分は出てきません。数列の漸化式が分かれば大丈夫です。（できれば、三項間の漸化式の知識があった方がいいです。漸化式の知識がないと、説明は難しいです)

あと、＃３さんへの補足への回答ですが、
p(kn)のように書くと、knが一つの項に見えます。なので、例えば、p(k,n)のようにkとnが区切ってあった方が、見やすいですね。別に区切るための記号が","である必要はなく、";"でもよい、という事なんですが、分かりますか？

補足

何度もすみません。

#4の認識でけっこうです。
(a)100→(b)200→(c)100
この場合(c)の時点で、100のドローダウンが生じていると確定します。

(a)100→(b)200→(c)100→(d)150→(e)80
となった場合には、80になった時点で100のドローダウンではなくて事後的に120のドローダウンに変わってしまうところ、仮に(e)で200以上を回復すれば100の(a)～(e)の期間中のドローダウンは100であったと確定するのでそのように書いたのですが、(e)の時点がどうであっても(a)～(c)の期間中のドローダウンが100であることには変わりません。
求めたいのは(b)～(c)で100のドローダウンが発生する確率です。
可能性としては(d)や(e)で100未満になる場合も有り得ますが、それは今回ご質問ではどうでもいいです。あくまで(c)が発生する確率を知りたいのです。
余計なことを書いてしまいました。

漸化式ですか。。聞いたことがありません。。。ゼンカシキというのでしょうか。。。
ちょっと自分なりに勉強してみたい関心もあるので、初手からわかる教科書などがあれば教えて貰えると嬉しいです。

あと「；」がわからないのは、「ｋｎ」だとｋ×ｎと理解するんですが、「ｋ；ｎ」っていうのは例えばエクセルで表現しようとするときには、どうしたらいいのかわからない、ということです。
エクセルでは四則演算と「if」「or」「and」ぐらいしか使っていません。

回答No.4

eatern27

質問です。

１．資金を指定された勝率で運用して、指定された金額を、勝てば受け取り、負ければ支払う。
２．ドローダウンというのは、資金の最大値とその後の最小値との差のこと。
３．最初の１００万円を持っている時点から、ドローダウンするまでの期待値を求めたい。(期待値をＮとしたら、平均してＮ回の運用でドローダウンする、と言えます)

この３つは正しいですか？

この３つが正しいとしたら、

勝率をｐ、損益幅を100万/n円とすると、期待値は

p＝1/2の時は、n(n+1)回
p≠1/2の時は、[n-{1-(p/(1-p))^n}*p/(1-2p)]/(1-2p)回

となります。

上に書いた事があっているかどうかが分からないので、導出方法は書きませんが、補足してくれれば書きます。(でも、高１数学のレベルを超えているかもしれません)

補足

> １．資金を指定された勝率で運用して、指定された金額を、勝てば受け取り、負ければ支払う。

別表１の何れか一つの勝率で運用し、別表２の何れか一つの額を、勝てば受け取り、負ければ支払う。その通りです。

> ２．ドローダウンというのは、資金の最大値とその後の最小値との差のこと。

そうです。
例えば上のある組み合わせで運用していて、１００回目に運用資金が２００万円になった。この２００万円という額は１００回目までの運用の中で最大額である。
そして１０１回目以降に運用資金が減り始め、途中増減はあるが、１５０回目に運用成績が１００万円まで下落した。この１００万円という額は、１００回目以降最小額である。
その後また運用を繰り返し、運用成績が２００万円以上に向上した。
このときのドローダウンを、１００万円といいます。

> ３．最初の１００万円を持っている時点から、ドローダウンするまでの期待値を求めたい。(期待値をＮとしたら、平均してＮ回の運用でドローダウンする、と言えます)

その通りだと思います。最初に１００万円持っているということ自体には意味が無いかもしれません。

数１までは勉強したかもしれない記憶があるのですが、数２あたりは完全に寝てました。微分積分とかは一切やった記憶がありません。
馬鹿で申し訳ございませんが、四則演算で理解できるあたりまで水準を下げてご説明頂ければ幸甚です。

回答No.3

kony0

とりあえず、私が２年半前に質問した
http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=248376
をもう少し難しくした問題に見受けられます。

「吸収壁（という言い方が正しいかわかりませんが^^;）のあるランダムウォーク」なので、大学２年生で習う確率・統計の発展問題レベルですね。
いずれにせよ「高校1年以来数学をやっていない」とのことですので、私にはご理解いただけるような説明を行うことができません。すみません・・・

１回あたりの勝率をa、
１回あたりの損益額を100/b（万円）
ｎ回試行したときの所持金が(100/b)*k（万円）である確率をp(k;n)と表記すると
p(b;0)=1
p(0;n+1) = p(0;n) + (1-a)*p(1;n)
p(1;n+1) = (1-a)*p(2;n)
p(k;n+1) = a*p(k-1;n) + (1-a)*p(k+1;n)
を計算して、p(0;●)を求めればよいことになります。
この算式はExcelを使うと簡単に数値計算できます。

算式自体の計算も、ぐりぐりやればできるかもしれませんが、私は断念しちゃいました。（ランダム・ウォークの学習やった人なら簡単なのかも？）

いっぱいやるのは面倒なので、参考までに一例だけやると（Ｄ）（え）のパターンで100回やると、破産確率は32%程度あります。

補足

すみません、

『　；　』

の意味がわかりません　（●＿●。。）

回答No.2

chairwarmer

>○回に１回の確率でドローダウンが発生する、という確率を知りたいのです。

“発生確率”というよりは
「何回程度の運用を行うごとに1回のドローダウンが発生する事が予測される」といった
“発生頻度”にあたる数値を計算して
「ドローダウンの発生しやすさの度合い」を
組み合わせごとに比較したかった、という事でよろしいでしょうか。

それだと確かにおっしゃる通り
2連敗した後で1勝1敗を繰り返して・・・なんてケースを考慮すると
ドローダウンに至るパターンは無限にあると考えられますので
単純な計算で求めるのは難しそうですね(^^;;

申し訳ございませんが、私の頭ではこれ以上はお役に立てそうにありませんm(_ _)m

お礼

> 「何回程度の運用を行うごとに1回のドローダウンが発生する事が予測される」
> といった“発生頻度”にあたる数値を計算して
> 「ドローダウンの発生しやすさの度合い」を
> 組み合わせごとに比較したかった、という事でよろしいでしょうか。

そう。そう。そうです。
わかるように説明できず、すみませんでした。

ご尽力頂きましたこと、心より感謝致します。

回答No.1

chairwarmer

「○回以内の運用の間にドローダウンが発生する確率」
のように、条件を限定しないと無意味な計算になっちゃいませんかね？

初期費用が100万円って事は、費用が0円になって底が尽きた時点で
「少なくとも100万円のドローダウンが発生した」と見なせる事になりますし

もっとも損失の少ない組み合わせは（Ａ）－（お）ですが
それでも50連敗（20じゃなくて50ですよね？）すれば
100万円のドローダウンが発生しますので
「資金がある限り永久に運用を続ける」というのが前提であるならば
負ける可能性がわずかでもある以上、いつか必ず50連敗する時はおとずれます。

つまり
「永久に運用を続けるならば、いつかは必ず100万円のドローダウンが発生する」
わけですから、単純に100万円のドローダウンが発生する確率を考えると
「どの組み合わせだろうと確率は100%」という事になってしまうのではないでしょうか。

私の勘違いでしたらすみません(^^;;

補足

○回に１回の確率でドローダウンが発生する、という確率を知りたいのです。
いつか発生する可能性という意味では発生確率１００％なのは理解しますが、それが１００万回サイコロを振ったら１回発生する確率であるのか、それとも１０回サイコロを振ったら１回発生する確率であるのか、ということを知りたいわけです。
それをどう計算したらいいのかわからなくて。

勝率８０％で単純に５０連敗する確率であれば何とか私の脳味噌でも計算できるのですが、４９敗した後１勝してその後２連敗、みたいなのまで考慮するのにどうしたらいいのかわからないのです。

質問が不明確だったようなら申し訳ございません、何とかお知恵を拝借できませんでしょうか。