小数の10進数を2進数に変換する方法

質問

小数の10進数を2進数に変換するには、変換したい10進数の小数部を小数が0になるまで2倍するのはなぜでしょうか？

回答No.1

chie65536（@chie65535） · ベストアンサー

2進小数の 0.abcdef を考えます（a～fは0か1です）

これを10進数にする際は
2^-1*a+2^-2*b+2^-3*c+2^-4*d+2^-5*e+2^-6*f
を10進で計算します。

上記式を2倍すると（10進小数を2倍するのと同じ意味）
2^0*a+2^-1*b+2^-2*c+2^-3*d+2^-4*e+2^-5*f
となり、2^0は1ですから
1*a+2^-1*b+2^-2*c+2^-3*d+2^-4*e+2^-5*f
という式になります。

つまり、１回２倍すると、整数部に「a」が「0か1」として現れます。

「a」が得られたら、式から「1*a+」を取り除き
2^-1*b+2^-2*c+2^-3*d+2^-4*e+2^-5*f
の式にします。

これは「２倍した後の小数部だけ残して計算し続ける」と同じ意味です。

残った小数部をまた２倍すると、つまり
2^0*b+2^-1*c+2^-2*d+2^-3*e+2^-4*f
を計算すると、整数部に「b」が現れます。

同様に２倍、２倍と繰り返すと２進数での「a」「b」「c」「d」「e」「f」が１桁づつ得られます。

「f」が得られた段階で、小数部が無くなります。つまり、小数が０になります。

これと同じ事を「10進数の小数に対して行う」と、同じように「2進数のa、b、c、d、e、f、……が得られる」のです。

まったく同じ事が、10進数でも出来ます。

10進数の小数「0.12345」を10倍すると「1.2345」になり、整数部に最初の数字「１」が現れます。

次に「0.2345」を10倍すると「2.345」になり、整数部に次の「２」が現れます。

これを繰り返すと「３」「４」「５」が順に得られ「５」が得られた時点で小数部が０になります。

同様の事が他の進数でも成り立ちます。

３倍すれば3進数になりますし、４倍すれば4進数、５倍すれば5進数になり、２倍すれば2進数になるのです。１６倍すれば16進数にできます。

回答No.2

retorofan

小数の10進数を2進数に変換するのに、
変換したい10進数の小数部を小数が0になるまで2倍します。
その理由は、2進数の小数部の重みが2の負の累乗になるからです。

例えば、
・0.5(10) ー＞0.1(2)
　0.5 × 2 = 1 → 整数部は1
　よって、0.5(10) = 0.1(2)となる。

・0.25(10) ー＞0.01(2)
　0.25 × 2 = 0.5 → 整数部は0 0.5 × 2 = 1 → 整数部は1
　これらの整数部を上から並べると、0.25(10) = 0.01(2)となる。

したがって、
10進数の小数部を2倍することで、
その整数部が、2進数の小数部の最上位ビットに対応します。