画像の定積分の解き方を教えてください。

質問

画像の定積分の解き方を教えてください。

回答No.3

info33 · ベストアンサー

I=∫[0~T]f(x)dx, f(x)=√{(1+sin(x))/(1-sin(x))} , (0≦x≦T<pi/2) とします。
このとき、
f(x)=√{((1+sin(x))^2) /(1-(sin(x))^2)}
=(1+sin(x)) / cos(x)
=1/cos(x) + tan(x) ,
I=∫[0~T] 1/cos(x) + tan(x) dx, (0≦x≦T<pi/2)
=[log(1/cos(x)+tan(x))-log(cos(x))] [0~T]
=log(1/cos(T)+tan(T)) -log(cos(T))
or
=log(1+sin(T)) -2 log(cos(T))

回答No.4

info33

ANo.3 の補足です。

ANo.3 の最後の式はさらに, 以下のように変形できます。
> =log(1+sin(T)) -2 log(cos(T))
=log{(1+sin(T))/(cos(T))^2}
=log{(1+sin(T))/(1-(sin(T))^2)}
=log{(1+sin(T))/((1+sin(T))(1-sin(T)))}
=log{1/(1-sin(T))}
= -log(1-sin(T))

#) 公式 sin^2 A+cos^2 A=1, cos^2 A=1-sin^2 A =(1+sinA)(1-sinA)
を利用する。

回答No.2

kiha181-tubasa

いわゆる「置換積分」として計算できます。

√(1-sinx)=tとおきます。
1-sint=t^2
この両辺をtで微分すると
-cox(dx/dt)=2t
dx/dt=-(2t/cosx)
となります。
また被積分関数は
√(1+sinx)/√(1-sinx)
=(√(1+sinx)√(1-sinx))/(√(1-sinx)√(1-sinx))
=√(1-sin^2x)/(√(1-sinx))^2
=cox/(1-sinx)　　(0≦x≦T,0≦T<π/2よりcosx>0だから，√cos^2x=cosx）
=cox/t^2
また積分区間は
x:0　→　T
t:1　→　√(1-sinT)

以上より
∫[0→T]√(1+sinx)/√(1-sinx)dx
=∫[1→√(1-sinT)]cox/t^2*(-(2t/cosx))dt
=∫[1→√(1-sinT)](-2/t)dt
　　　　　√(1-sinT)
=[-2log|t|]
　　　　　1
=-2log√(1-sinT)　　　　（∵√(1-sinT)＞０）
=log(√(1-sinT))^(-2)
=log(1/(1-sinT))

※おまけ
√(1+sinx)=tとおいても解けます。この場合も，分子分母に√(1-sinx)をかけて，分子にcosxが現れるように変形します。途中の計算は少し異なりますが最後はやはりlog(1/(1-sinT))にゴールできます。

回答No.1

gamma1854

I=∫[0~T]f(x)dx, f(x)=√{(1+sin(x))/(1-sin(x)), (0≦T<pi/2) とします。
このとき、
f(x)=1/cos(x) + tan(x) です。
計算してください。
---------------
I＝ ーlog{1 - sin(T)}.

補足

f(x)がどうしてそうなるか分かりません。有理化ですか？
過程を教えてください。