七分勾配がなぜ約55度になるのですか？

質問

七分勾配がなぜ約55度になるのですか？

調べましたが納得のいく結果がえられません‥‥

土木施工管理技士を目指しています。
後学のために
「七分勾配は約55度である。」
と端的に覚えるよりも、現場で応用がきくように計算式から覚えたいです。

まだ施工管理を経験して一ヶ月の見習いです。
今まで土木の経験もありませんが、すこしでも現場の作業員、職員のみなさんの力になりたいと思っています。

七分勾配の比率は底辺が0.7、高さが1、斜辺が約1.22というところまでは高卒レベルのぼくでも調べてなんとかわかりました。
ですが、なぜ七分勾配では55度になるのかがわかりません‥‥

現場で
「底辺がx、高さがyのときの角度(θ)を正確に知りたい」といった状況のとき答えられるようになりたいです。

回答No.15

178-tall · ベストアンサー

たびたびの引用ミス、蒙御免。

k　　m　　 cos(x/m)　　Π=sinx/x　　x(rad)　　x(deg)
--　---　 --------　　---------　　------　　-------
1　　2　　8.8698e-1　　8.8698e-1　　0.9236　　52.920
2　　4　　9.7133e-1　　8.6155e-1　　0.9509　　54.481
3　　8　　9.9281e-1　　8.5536e-1　　0.9578　　54.876
4　 16　　9.9820e-1　　8.5382e-1　　0.9595　　54.975
5　 32　　9.9955e-1　　8.5343e-1　　0.9599　　55.000
6　 64　　9.9989e-1　　8.5334e-1　　0.9600　　55.006

(cos の半角算式を使うほうです)

お礼

回答ありがとうございます！
スマホのキャリアを変更したのでしばらくログインできませんでした(汗)

ベストアンサーに選定させていただきました！

回答No.14

178-tall

ANo.11 の算式
　sin(x)/x = Π cos(x/2^n)　　…(1)
での勘定例。

　　　↓

k　　m　　 cos(x/m)　　Π=sinx/x　　x(rad)　　x(deg)
--　---　 --------　　---------　　------　　-------
1　　2　　5.7346e-1　　1.0000e+0　　0.8192　　46.939
2　　4　　8.8698e-1　　8.8698e-1　　0.9236　　52.920
3　　8　　9.7133e-1　　8.6155e-1　　0.9509　　54.481
4　 16　　9.9281e-1　　8.5536e-1　　0.9578　　54.876
5　 32　　9.9820e-1　　8.5382e-1　　0.9595　　54.975
6　 64　　9.9955e-1　　8.5343e-1　　0.9599　　55.000

お礼

回答ありがとうございます！

回答No.13

178-tall

引用データの取り違えあり、訂正。

n　　m　　 sin(x/m)　　 u(rad)　　 sin(u)　　　u (deg)
--　---　 --------　　-----　　 -----　　 ------
0　　1　　8.192e-1　　　　　　
1　　2　　4.618e-1　　0.9236　　0.7978　　52.920
2　　4　　2.377e-1　　0.9509　　0.8139　　54.481
3　　8　　1.197e-1　　0.9578　　0.8179　　54.876
4　 16　　5.997e-2　　0.9595　　0.8189　　54.975
5　 32　　3.000e-2　　0.9599　　0.8191　　55.000
6　 64　　1.500e-2　　0.9600　　0.8192　　55.006

お礼

回答ありがとうございます！

回答No.12

178-tall

一部、錯誤を訂正。

半角値 sin (x/2) は、桁落ちの少ない算式、
　sin (x/2) = y/√[2*{1 + √(1-y^2)}]　　…(1)
　ただし、y = sin(x)
を利用。

お礼

回答ありがとうございます！

回答No.11

178-tall

ANo.10 への蛇足。

ご興味あらば、参考 URL でも…。
　　　　　　　　　↓　sinc(x) = sin(x)/x の無限乗積

参考URL：

http://www.calpoly.edu/~kmorriso/Research/cosine.pdf

お礼

回答ありがとうございます！

回答No.10

178-tall

>…「底辺がx、高さがyのときの角度(θ)を正確に知りたい」といった状況のとき答えられるようになりたい …

「三角関数表」を用意しておくか、「逆三角関数勘定式」を用意しておく手、ですかネ。
実用的な sin(x) の勘定手続は、
　与えられた sin(x) の半角の値 sin (x/2) を勘定を繰り返していくと sin(x)/x の値が 1 に近づいていく
… のを利用する手です。

半角値 sin (x/2) は、桁落ちの少ない算式、
　sin (x/2) = x/√[2*{1 + √(1-x^2)}]　　…(1)
を利用。

Excel での勘定例。
　　　　↓
n　　m　　sin(x/m)　　u (rad)　 sin(u)　　u (deg)
--　---　 --------　　-----　　 -----　　 ------
0　　1　　9.759e-1
1　　2　　6.252e-1　　1.2504　　0.9491　　71.644
2　　4　　3.313e-1　　1.3253　　0.9700　　75.933
3　　8　　1.680e-1　　1.3444　　0.9745　　77.028
4　 16　　8.433e-2　　1.3492　　0.9755　　77.304
5　 32　　4.220e-2　　1.3504　　0.9758　　77.373
6　 64　　2.110e-2　　1.3507　　0.9759　　77.390

　初期値 = 9.759e-1 ← sin(七分勾配)
　n … 半角値の計算回数
　m = 2^n
　sin(x/m) … 1 段上の半角の sin 値 ← 式 (1) で勘定
　u(rad) = m*sin(x/m)

お礼

回答ありがとうございます！

熱心に回答してくださり本当に感謝です！
Excelでの使用は念頭になかったので大変参考になりました！
お心遣いとわかりやすさにせめてものお礼でベストアンサーに選定させていただきます！

回答No.9

bunjii

回答No.4の補足です。
7分勾配（高さ1に対する水平距離0.7）とは土木工事の盛土／切土の斜度を表す表示であり、坂道や水路の勾配（水平距離100に対する垂直距離x）と異なる表記であることを認識してください。

>すこしでも現場の作業員、職員のみなさんの力になりたいと思っています。
現場の作業員に法面の角度で説明することは殆ど無いと思います。
例えば土質による安息角から盛土の高さに対して斜面の水平距離は一般的な関数電卓で三角関数を使えば求められます。
逆に施工結果から斜面の角度を求めて設計の角度との差異を調べることはないと思われます。

お礼

回答ありがとうございます！

ベストアンサーにかなり迷いました、、
もしお二方選べるなら選定したかったです！

分かりやすい説明、そして現場では必要のないことであることを教示していただけて、とても勉強になりました！

回答No.8

staratras

高校数学の範囲の手計算だけでも「七分勾配は約55度」という近似計算は可能です。
「七分勾配は約55度」というのは下の図でBC=0.7,AC=1のときつまり
tanθ=1/0.7のとき、θ≒55度　ということです。

ここで正三角形を2等分した直角三角形（三角定規の片方の形）を考えると
tan60°=√3≒1.732　です。tanθ=1/0.7≒1.429 だからθ<60°なので、
θ=(60-x)°とおけます。
加法定理から　tanθ=（tan60°-tanx)/(１+tan60°・tanx）=1/0.7 です。
tanx=ｔとおき、tan60°=√3を代入すれば、
（√3-t)/(1+√3ｔ)=10/7　これを解くと　ｔ=(7√3-10)/(7+10√3)≒0.0873

tanx≒0.0873　これは小さいので、tanxをx で近似すれば
x≒0.0873（ラディアン）となり、度で表せば
180/π×0.0873≒5.00　だからθ≒60-5≒55°です。

厳密に計算すると、55.00797980…°です

お礼

回答ありがとうございます！

回答No.7

gamma1854

その方面はよく分かりませんが、根拠としてはもちろん「数学」から来ていることで、次のことであると思います。
Cを直角とする直角三角形ABCを考えてください。
BC=7, AC=10 であるとき、
tan(B)=10/7 となり、B=0.9500703624(rad) であり、これを度数法になおすと、
B=55度00分28.727秒
となります。このことを言っているのでしょう。
------------------ この考えでいくと・・・
「六分勾配」であるならば、tan(B)=5/3 より、
B=1.030376827(rad)=59°02'10.476"
「五分勾配」であるならば、tan(B)=2 より、
B=1.107148718(rad)=63°26'05.816"
などとなります。
です。

お礼

回答ありがとうございます！

回答No.6

okvaio

早見表です。
http://www.asuzac-concrete.jp/help/kobaihyo.htm

お礼

回答ありがとうございます！
保存しました！

回答No.5

molly1978

この計算には三角関数の知識が必要です。
tan θ ＝ y/x
となるθを計算することになります。
これは逆三角関数で
θ ＝sin^(-1) （y/x）
となりますが、手計算ではできません。
関数電卓（スマホアプリ）か、EXCELのATAN関数を使います。
高校の教科書で逆三角関数を調べて下さい。

お礼

回答ありがとうございます！