次の数学の問題の解答解説をお願いします

質問

3^a+4^b=5^cを満たす自然数a.b.cを求めなさい。
全くわかりません。

回答No.2

staratras

a=b=c=2　が与えられた式を満たすことはすぐに思いつきますが、「これしかない」という論証が必要でしょう。

3^a+4^b=5^c …（１）(a,b,cは自然数）

5^c=(2+3)^c=2^c+c・2^(c-1)・3+…+c・2・3^(c-1)+3^c であり、第2項以降は3の倍数、
また、3^aは3の倍数であり、4^b=(2^2)^b=2^(2b) だから、（１）について3を法として
2^2b≡2^c　(mod　3) したがってcは偶数だから、c=2d とおける。
このとき（１）から、3^a=5^2d-2^2b=(5^d+2^b)(5^d-2^b)となる

ここで5^d-2^b≠1　だと仮定すれば、(5^d+2^b)と(5^d-2^b)の両方が3のべき乗でなければならないが、この２項を加えると、2・5^dが３の倍数となって矛盾する。したがって、5^d-2^b=1,5^d+2^b=3^a

この２項の差をとると、2・2^b=3^a-1 ∴(3^a)-2^(b+1)=1 これを満たすのはa=2,b+1=3のみ　(注）
したがってa=2,b=2、（１）へ代入して、2^2+4^2=25=5^c 　∴c=2

答え　a=b=c=2

注：カタラン予想(ミハイレスクの定理）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AB%E3%82%BF%E3%83%A9%E3%83%B3%E4%BA%88%E6%83%B3

ここでは自然数には0を含まないという大前提で解いています。
（0を含むという流儀であれば、a=0,b=1,c=1 でも1+4=5　となります…。）

回答No.1

pkweb

全部２はありですか？