計算式を教えて下さい

質問

例えば定数値0.1(Kgf/mm)の圧縮コイルバネがあります。
20mmたわました位置（2Kgf）で瞬時に開放した時，20mmの位置から0mmの位置（通過位置、通過後のビョンビョンは無視）まで伸びる訳ですが、
瞬時開放した時から15mm通過時点，10mm通過時点，5mm通過時点，0mmm通過時点の時間はそれぞれ何秒後になるのでしょうか。

たわみ位置と時間軸の関係がイマイチ理解できないでいます。
この計算式を教えて下さい。

回答No.5

noname#230359 · ベストアンサー

式を望まれているので、計算してみました。なかなか面白い結果になりました。

　８０％に圧縮したバネを開放すると、バネ先端はいきなり等速運動を始め、１２０％まで伸びた後、速度が反転して等速で８０％まで縮むという、三角波を描きます。

　　バネ定数　　ｋ [N/m]
　　バネの質量　ｍ [kg]
　　バネの全長　Ｌ [m]
　　初期圧縮率　ａ (20%圧縮なら a=0.2)
の場合、
　　初期圧縮力　Ｆ＝ｋ×Ｌ×ａ [N]
であり、この圧縮力を除去すると、バネ先端は、
　　ｖ＝Ｌ×ａ×√（ｋ／ｍ） [m/s]
の等速運動を始めます。
時刻
　　ｔ0＝√（ｍ／ｋ） [s]
には、先端は自由長に達し、時刻２×ｔ0には、
　　長さ Ｌ×（１＋ａ）
に達し、そこで速度が反転し、同じ速度で収縮を始めます。

　物体が静止状態からいきなり等速運動をするなんて、加速度が無限大じゃないか。といわれそうですが、実際そのとおりで、圧縮力を開放すると、バネの先端から伸張を始めますが、先端部分を微視的に見ていくと質量ゼロに近づくので、その加速度が無限大になります。

　バネ全体はどのような挙動をするかというと、圧縮率ａのバネが開放されたとき、バネのごく先端の微小部分から伸び始め、その部分の圧縮率が０になったとき速度ｖを得ます。普通のバネ系であればここで振動を始める訳ですが、この場合はこの微小部分のとなりも左右の圧縮率の差によって運動を始め、先端部分に付いて来るような動きをするので、結果的に圧縮率０になった部分が塊として速度ｖで動きます。そして圧縮率０と圧縮率ａの境界線が先端から固定端へと動いて行きます。
　時刻ｔ0で境界線は固定端に達し、全体の長さはＬになりますが、このときバネ全体が速度ｖで動いているので、今度は固定端から伸張を始め、伸張率ａと伸張率０の境界線が先端に向かって動いて行きます。
　時刻２×ｔ0には境界線が先端に達し、先端部分は伸張率ａに伸びて速度ｖが０になり、次の瞬間に伸張率０に戻って速度－ｖになり縮み始めます。以下同様にして、直線運動が続きます。

　バネを中実剛体の棒とみなしてプログラムを作りシミュレーションしたところ、最初はきれいな三角波ですが、演算誤差によるものか、徐々に圧縮密度の境界線が崩れてきて、それに伴い先端の波形も丸くなり、歪んだ正弦波みたいになりました。実際のコイルバネでは、圧縮エネルギーの一部がねじり運動に変換されたり、鋼線内の音速が上記粗密の境界を乱すことが予想され、結果的に似たようなことになりそうです。

　三角波の周期は、４×ｔ0＝４√（ｍ／ｋ）ですが、＃３のkazu_iさんの回答中にある、
　「バネ定数とコイル自重の1/3が先端に付加したモデル」
を計算してみると、
　Ｔ＝２π√（ｍ／３ｋ）＝３．６３√（ｍ／ｋ）
であり、比較的近い結果になりました。（内心ほっとしました）

お礼

ご回答を戴きありがとうございます。
今、拝見したばかりでまだ理解していませんが、『物体が静止状態からいきなり等速運動』はわかるような気がします。
この式で私なりに解析してみたいと思います。うまくいけば新しい商品のバックボーンとなり得ると思っています。

私の為に長時間、費やされたことに感謝いたします。
ありがとうございました。またこの件に関して何か気づかれたことがありましたら投稿をお願い致します。
後一週間くらい開いておきたいと考えています。
よろしくお願い致します。

回答No.4

noname#230359

コイルバネのHPのアドレスが違っていました。
　http://www.3s-showa.com/pdf/P1.pdf
です。

回答No.3

noname#230359

1.FEMは有限要素法のことで次のＨＰを参照してください。
http://www.fem.gr.jp/
2.コイルバネは捩り剛性を利用した物なので材料力学
に剛性の計算について書いています。
　コイルバネのことについては次のＨＰに詳しく記載しています。
　http:www.3S-showa.com/pdf/P1.pdf
３．片側固定、反対側自由の場合の固有振動数はコイルバネの設計公式で求めたバネ定数とコイル自重の1/3が先端に付加したモデルで計算すればよさそうです。
詳しくは1967、「機械の研究＝第１９巻別冊」、ｐ７６、振動とばね、小林節夫に記載しています。
従って、バネの挙動は固有振動数で決まる周期で計算
出来のではと思います。
　多分減衰があるので何周期も振動しないと思いますが。

お礼

ありがとうございます。
１.有限要素法・・・はるか昔にどこかへ置き忘れてきました。今の私（おじさん）にはとても解析できる力はありません。

２.参考にさせていただきます。

３.『1967、「機械の研究＝第１９巻別冊」』残念ながらこの書籍は持ち合わせていません。また当地、片田舎の図書館では見ることも出来ません。（理解できるかどうかは別にして）

ｔ＝＊＊＊なんて式で簡単に表すことは無理なんでしょうかね。皆さぁん。(;^^;)

回答No.2

noname#230359

無負荷のバネの挙動では、バネ自体の質量を考慮しなければなりませんが、バネの質量は集中定数ではなく、分布定数になりますので、計算がむつかしいですね。
　たとえば、長さ１００ｍｍ、質量１００ｇのバネだとすると、長さ１０ｍｍのバネに１０ｇの重りを付けたものを１０個重ねたものの挙動の計算をすれば、現実に近い結果が得られます。
　微分方程式を作って、初期値を与えて解くわけですが、解の数式を求めるより、コンピュータでシミュレーションしたほうが良いと思います。
　でも、いろいろさがせば、どこかにこういうモデルの挙動解が載っているかも知れませんね。

お礼

ありがとうございます。参考にさせて頂きます。

回答No.1

noname#230359

バネの挙動について計算したいと言う事のようですが
そのような計算をする目的は何でしょうか？
厳密に計算するのであればＦＥＭで計算するのが良いと思います。何か負荷（マス）に対する応答性を検討したいと言うことであれば負荷を考慮した計算をしないと意味がないのではと思います。
単にバネの挙動を知りたいのであればバネ定数とバネのマスで決まる固有振動数に近い挙動になるのではと
思います。

補足

お答えいただきありがとうございます。
申し訳ありません、下記さらに教えて下さい。
１．「ＦＥＭ」で計算とはどういう方法なのでしょうか。

２．たしか、固有振動数＝バネ定数／質量　だったと思いますが、無負荷（瞬時に開放）の場合は質量の値になにを与えればよいのでしょうか。
固有振動数の１サイクルの動作はサインカーブで単純に計算してよいのでしょうか。

３．質問例の場合は具体的にどういう計算方法になるのでしょうか。

尚、この目的は新商品開発にあたって疑問に思い必要になってきたためで、決して「ピ」など危険なものを作ろうと思っているわけではありませんのでご安心下さいませ。(^~)
疑問に思うとなかなか抜け出せない悪い性分で、お手数をお掛けしますがよろしくお願い致します。