hanshin_1さんは、今の会社を１月末で退職することでいいのでしょうか？それとも2月は会社の籍は置いているけど、有休消化で会社に行かないのでしょうか？
１月末で今の会社を退職するのであれば、健康保険と年金と住民税の手続きをしないといけません。
今の会社は解約手続き「１月末でhanshin_1さんは○○会社を退職する」というところまでで、その次のことはやらないです。
３月に勤務する転職先も「３月１日からhanshin_1さんという社員が入社した」という登録手続きをするだけなので、無職期間中の手続きはhanshin_1さん本人がやらないといけません。
確か今の会社から離職票が発行されてから（１月末で○○会社を辞めた、というはっきりした証拠）でないと、手続きはしてくれない…はずです。
健康保険は、１ヶ月間１００％病気や怪我をしない！というのであれば、無理に手続きしなくてもいい、と思います。これは絶対入らないといけないものではないので…。
ただ、無職期間内に怪我や病気になって、病院に行く羽目になった時は…高額の料金がかかる覚悟で…。
住民税も会社によるかもしれませんが、一年分を会社が支払って、月々の給与から引かれるはずです。
経理か総務から、たぶん１月末までの給与（２月振込分）から残りの住民税分引かさせてもらいます、みたいな話をされるはずです。もしくは、残りの住民税は自分で払いますか？とか確認されると思います。
役所に電話するか、直接窓口に行って相談した方が一番早いです。３月に次の職場が決まっているのであれば、それに合わせた支払方法を教えてくれます。
私も以前無職の期間があり、次は決まっていなかったので、一度電話でどうしたらいいか、聞いたら、離職票と身分証明を持って○○課へ来てください、と言われて、離職票が届いたら、すぐ役所に行った記憶があります。
そして窓口で事情を話し、それに合わせた手続きをしてくれました。
補足
有給休暇は１５日程残っています。 有給休暇を休養期間とアパートを決める期間にすれば何も問題ないのですが、どうしても有給休暇＋１か月間の働かない期間がほしいです。