静止電位に達するまでに移動したイオンの数の計算

質問

細胞膜はコンデンサーとして考えることができる。
半径10µmの球状の細胞があり、細胞外には5mM、細胞内には150mMのK＋イオンが存在する。
細胞膜の電気容量は1µF/cm^2である。
最初、細胞膜にはイオンを通すチャネルが存在せず、膜電位は0mVであった。この細胞の膜に突然K＋のみを通すイオンチャネルが突然に発現した。
このカリウムの濃度差では、25℃での平衡電位はネルンストの式から-87mVと概算できる。
では次の問に応えよ。

(1) イオンチャネル出現後、細胞が静止膜電位に達するまでに何個のイオンがどの方向に移動するか？

(2) また、イオンチャネルが出現して膜電位が0mVから-87mVまで変化する間に細胞内のK＋イオン濃度はどれほど変化したか？

という問題をといて行き詰りました。

(1) は、0から-87mVまで電位を下げなくてはならないのだから細胞内のカリウムを細胞外に排出すればよいという考えで、Q=CVを用いて、等式より、
V=Q/C として、　　87 = (1.6×10^19× A個) / 1µF/cm^2
としてAを求めればよいと思って計算をしたのですが間違っていました。
また、
(2)は考え方すらわかりませんでした。

ちなみに解答は
(1) は細胞外に向かって1.7×10^6個のK＋イオンが流出する。
(2) 0.2µMだけ濃度が低下する。

でした。
ご面倒おかけしますがご指導お願い申し上げます。

回答No.1

c80s3xxx · ベストアンサー

たぶん，直径10 μmの間違いだと思うな．半径は 5 μm．
この細胞の表面積は4 × π × (5×10^-6)^2 = 3.14×10^-10 m^2 = 3.14×10^-6 cm^2
したがって膜容量は全体で 3.14×10^-6 × 1 = 3.14×10^-6 μF
ここで87 mV の電位差が出るので，Q=CVから電気量としては
3.14×10^-6 × 10^-6 × 87×10^-3 = 2.73×10^-13 C だけ電荷があり，これがK+ (1個の電荷は1.6×10^-19 C) によっておこっているのだから，
(2.73×10^-13) / (1.6×10^-19) = 1.7×10^6 個ということになる．

この数だけ，K+は膜外に出ていくわけだが，細胞の体積は
(4/3) × π × (5×10^-6)^3 = 5.23×10^-16 m^3 = 5.23×10^-13 L
であり，動いたK+の物質量は(1.7×10^6) / (6.0×10^23) = 2.8×10^-18 mol，したがって
濃度変化量は (2.8×10^-18) / (5.23×10^-13) = 5.3×10^-6 mol/L
あれ？

お礼

完璧な解答解説をしてくださり、誠にありがとうございます。
お陰様でようやく理解することができました。
ご指導を頂戴するまで本当に気が気でなかったので大変うれしく存じます。
また機会がございましたら是非ともご指導ください。
ありがとうございました。