解き方が分かりません

質問

a+b+c=0のとき次のを証明せよ
a^3+b^3+c^3=3abc
が分かりません
最終的にどうなればいいかは分かるのですが解き方が分かりません。おねがいします。

回答No.6

staratras · ベストアンサー

もっとも素直（愚直?）な方法。

a+b+c=0　より　c=-(a+b)だから

a^3+b^3+c^3=a^3+b^3-(a+b)^3
=a^3+b^3-(a^3+3a^2b+3ab^2+b^3)
=-3a^2b-3ab^2

3abc=-3ab(a+b)
=-3a^2b-3ab^2

したがって　a^3+b^3+c^3=3abc

回答No.5

178-tall

なし崩しの手…？

　(x+y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3
　= x^3 + y^3 + 3xy(x+y)　　…(0)

x+y=0 が成立つとき、
　x^3 + y^3 = -3xy(x+y) = 0　　…(1)
(1) にて x=a, y=b+c とすれば、
　a^3 + (b+c)^3 = 0　　…(2)

また (0) にて x=b, y=c として、
　(b+c)^3 = b^3 + c^3 + 3bc(b+c)
らしいから、(2) は、
　a^3 + b^3 + c^3 = -3bc(b+c) = 3abc

回答No.4

noname#215361

ANo.1の補足です。

a^3+b^3+c^3-3abc=（a+b+c）（a^2+b^2+c^2-bc-ca-ab）　
は言わば常識なので、質問文中にある「最終的にどうなればいいかは分かるのですが」とは、
a^3+b^3+c^3-3abc=（a+b+c）（a^2+b^2+c^2-bc-ca-ab）
を用いることは理解出来ていても、そもそも何故
a^3+b^3+c^3-3abc=（a+b+c）（a^2+b^2+c^2-bc-ca-ab）
になるのかが理解出来ていないものと捉え、敢えてこの関係を用いない解法を考えました。

因みに、ANo.1におけるa^3+b^3の因数分解は、次のように考えると、丸暗記をせずに結果を導き出すことが出来ます。

a^3+b^3において、b=-aとするとa^3+b^3=a^3+（-a）^3=a^3-a^3=0
よって、a^3+b^3はa+bで因数分解出来ます。
a^3の項とb^3の項を作るために、a+bにa^2とb^2を掛け、余分な項を差し引くと、次のようになります。
a^3+b^3
=（a+b）a^2-a^2b+（a+b）b^2-ab^2
=（a+b）a^2-（a+b）ab+（a+b）b^2
=（a+b）（a^2-ab+b^2）

以上から、試験の際には時間との戦いなので公式をそのまま用いることになりますが、日頃は自分自身で公式を導き出せるように訓練しておくことが重要です。

回答No.3

bran111

a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-bc-ca-ab)　　　　（*）

a+b+c=0のとき

a^3+b^3+c^3-3abc＝0　⇒　a^3+b^3+c^3=3abc

(*)は受験生不可欠の因数分解の公式。ぜひマスターしてください。

回答No.2

cbm51901

a=-(b+c)

a^3
=-(b+c)(b+c)^2
=-(b+c)(b^2+2bc+c^2)
=-b^3-2cb^2-bc^2-cb^2-2bc^2-c^3
=-b^3-c^3-3cb^2-3bc^2

a^3+b^3+c^3
=-3cb^2-3bc^2
=-3bc(b+c)
=3bca
=3abc

回答No.1

noname#215361

a+b+c=0→c=-（a+b）
a^3+b^3+c^3
=（a+b）（a^2-ab+b^2）-（a+b）^3…a^3+b^3の因数分解・c=-（a+b）を代入
=-3ab（a+b）…（a+b）で括って整理
=3abc…ｃを戻す