楕円と円の軌道の周期の問題です。［修正版］

質問

自分の別解は合ってますか？
画像です→http://ameblo.jp/353276/image-12000232163-13241754955.html
中段辺りに「円は楕円の一部より」と書かれています。
Tの導出は下の通りですm(__)m
半径ｒの等速円運動をして地球を回っている質量ｍの人工衛星Pの速さｖと周期Tを求めよ。
万有引力が向心力となっての円運動である。円運動の式を立式。ｖについて解きます。
次に遠心力と万有引力のつりあいよりTの式が出てきます。

回答No.1

kagakusuki

問題文が

>　図のような楕円軌道を回る人工衛星がある。
>点Aでの速さをvとすると,点Bでの速さuはいくらか。また,vをG,M,rで表せ。
>　前問の人工衛星の周期T’をG,M,rで表せ。円運動のEx2の結果を利用せよ。

というもので、それに対する質問者様の解答内容が

> T=2πr√(r/(GM)) より
> (2r+r)=a=3r/2
> 円は楕円の一部より
> r→3r/2 より
> T’=2π・(3r/2) √((3/2)/(GM))
> 　=3πr√(3r/(2GM))

というもののようですが、このサイトの回答者にとっては、Ex2の問題文が一体どの様なものであるのかなど知っている筈もない事柄なのですから、問題文に

>Ex2の結果を利用せよ。

とある以上、Ex2の問題文とその結果も情報として質問者様から御提示して頂けなければ、「Ex2の結果を利用」した導き出し方など判る筈もありません。
　もしこれがEx2の結果を利用しなくとも良いのであれば、ケプラーの第3法則

T=2π√(a^3／(GM))・・・(a:楕円軌道の長半径)

を利用すれば

a=3r/2 より
T=2π√(a^3／(GM))
　=2π√((3r/2)^3／(GM))
　=3π√(3r^3／(2GM))

という結果を得る事が出来るのですが、これはEx2の結果を使ってはおりませんので、御質問文に有る問題の解答とはなり得ません。

　もしかしますと、御質問文中にある

>万有引力が向心力となっての円運動である。円運動の式を立式。ｖについて解きます。
>次に遠心力と万有引力のつりあいよりTの式が出てきます。

いう部分は、Ex2において質問者様が「Tの式」を求める際に使われた考え方の概略を説明したものなのでしょうか？
　そして質問者様が仰っておられる「Tの式」とは、もしかしますと

> T=2πr√(r/(GM)) より

の事なのでしょうか？
　もしそうだとしますと、

>自分の別解は合ってますか？

という御質問内容に対する私の回答は
「いいえ、間違っています」
というものになります。
　質問者様が求められた

T’=3πr√(3r/(2GM))

という結果は、"偶々"「周期T'を求める正しい式」(←ケプラーの第3法則から導かれた)と同じ式になってはおりますが、結論を得るための手法が間違っています。

>次に遠心力と万有引力のつりあいよりTの式が出てきます。

とある以上、その「Tの式」を使って良いのは「遠心力と万有引力のつり合いが取れている」という条件が満たされている場合だけです。
　楕円軌道では「遠心力と万有引力のつり合いが取れていない」からこそ人工衛星の高度が高くなったり低くなったりしているのですから、「遠心力と万有引力のつり合いが取れている」という条件が満たされている事を前提として求めた式をそのまま使う事は出来ません。
　質問者様が求められた

T’=3πr√(3r/(2GM))

という結果が「周期T'を求める正しい式」と同じになったのは単なる偶然と考えて下さい。

お礼

ありがとうございます(^^♪
>もしかしますと、御質問文中にある

>万有引力が向心力となっての円運動である。円運動の式を立式。ｖについて解きます。
>次に遠心力と万有引力のつりあいよりTの式が出てきます。

いう部分は、Ex2において質問者様が「Tの式」を求める際に使われた考え方の概略を説明したものなのでしょうか？
　そして質問者様が仰っておられる「Tの式」とは、もしかしますと

> T=2πr√(r/(GM)) より

の事なのでしょうか？
分かりにくくてすみませんm(__)mそのとおりです。
>次に遠心力と万有引力のつりあいよりTの式が出てきます。
とある以上、その「Tの式」を使って良いのは「遠心力と万有引力のつり合いが取れている」という条件が満たされている場合だけです。
分かりやすいです(^o^)そういう事なんですね～。間違いと気づけて良かったです（*^_^*）