集合、ベン図

質問

住民500人に対して健康診断を行ったところ3つの項目(血中、血圧、血糖値)について基準値を満たさなかった者は、
血中が110人
血圧が150人
血糖値が90人
全て満たさなかった者は10人
どれか1つ満たさなかった者は200人いる。

(1)この健診で2項目だけ満たさなかった者は何人か
(2)この健診で基準値を全て満たした者は何人か

といった問題のベン図の書き方がわかりません…。全体が500でその中に○を3つ書き、それぞれの数値(110,150,90)を入れて、最後に3つの○が重なっているところに10を入れるのは分かるのですが、その先の解き方がわからなく困っています。どなたかわかる方がおりましたら、アドバイスお願いします。

回答No.1

ORUKA1951 · ベストアンサー

血中異常が110人 A
血圧異常が150人　B
血糖値異常が90人 C
分からないのが、赤(R)、緑(G)、青(T)、黄(Y)、シアン(S)、マゼンタ(M)の６個

＞どれか1つ満たさなかった者は200人いる。
の正確な意味は?
どれか1つ(でも)満たさなかった者は200人いる。
どれか1つ(しか)満たさなかった者は200人いる。

お礼

図による解説まで添付してくださり本当にありがとうございます。
とてもわかりやすかったです。おかげで最後までわかりました。

回答No.3

島崎 崇（@tadopika）

この問題では、検査項目別の人数を求める必要がないことがポイントです。

1つの基準値を満たさなかった人数をa人、
2つの基準値を満たさなかった人数をb人、
3つの基準値を満たさなかった人数をc人、とします。

(1) 110+150+90=350人は、a+2b+3c ですから、350=a+2b+3c
ここで、a=200, c=10 が与えられていますので、b=60

(2) 基準値を全て満たした人数をx人とすると、
x+a+b+c=500 が成り立ちます。

お礼

ご回答してくださり本当にありがとうございます。アドバイスを参考にさせていただき解くことができました。

回答No.2

spring135

（1）の答え　60人

（2）の答え　230人

正解と比べて間違っていたら以下は読む必要はない。

ベン図は２回ダブル部分、３回ダブル部分があって、その回数なんかを意識すると混乱するが

回数を意識しないと自然に領域分けができて結果が出る。

血中だけひっかる人がx人,血圧だけひっかる人がy人,血糖値だけひっかる人がz人

血圧と血糖値だけひっかる人がP人、血糖値と血中だけひっかる人がQ人,血中と血圧だけがひっかる人がR人

血中と血圧と血糖値のすべてがひっかる人が10人

これらを

＞血中が110人
＞血圧が150人
＞血糖値が90人

という３つの丸の中の区分けに使うと

10+P+R+y=150 (1)
10+P+Q+z=90 (2)
10+x+Q+R=110 (3)

となる。

さらにに

＞どれか1つ満たさなかった者は200人いる。

すなわち

x+y+z=200 (4)

＞住民500人

これはだれも引っかからなかった人をA人とすると以下の式で表される。

A+x+y+z+P+Q+R+10=500 (5)

これ以外に条件はない。未知数x,y,z,P,Q,R,Aに対し式は５個、したがって完全に

x=..,y=..,...というように解けることはない。

(1)-(3)を整理すると

x+Q+R=100

y+P+R=140

z+P+Q=80

これらを足し合わせて

2(P+Q+R)+x+y+z=320

(4)を用いると

P+Q+R=60　　　　（6）

(5)に(4),(6)を用いると

A=230　　　　　　(7)

(6)(7)が問題(1)(2)の解である。

7個の未知数が完全にわかるわけでないが対称性のある組み合わせが求められている。

お礼

詳しい解説ありがとうございました。これでこれからベン図の問題が出てきても解けそうです。本当にありがとうございます