ここでよいのでしょうか・・・

質問

会社のみんなで、近くのグランドの柵を越える越えないの話から、今度、野球の遠投をすることになりました。何とか越えて見せたいのですが、どれぐらいの力や角度が最低限必要かわかりません。できれば解き方と、答えを教えていただきたいのですが・・・
グランドの広さは、柵までの距離が60M。柵の高さは10Mです。使用する玉は、軟球で、身長は無視していただいて結構です。
質問としては
(1)　角度は、地面から何度をめがければ、いいのでしょうか。
(2)　最低限必要な玉の速さは時速何キロなんでしょうか。
(3)　その玉は、何メートル先に落ちるのでしょうか。
(4)　通常の遠投で、最低限何メートル投げられれば、その柵を越えることができるのでしょうか。もしかしてこの答えは、(3)の答えと同じなのでしょうか。

簡単なのか難しいのかすらわかりません。どなた様かわかる方、お手数ですがよろしくお願いいたします。

回答No.3

gator · ベストアンサー

高校(中学?)物理の基本問題と書こうと思いましたが、
柵があるとちょっと難しいですね。応用問題かな。

普通の遠投は45度で投げると良いのですが、柵があるので、
初速Vと角度θで始めなければならないようです。
水平方向初速Vx=Vcosθ、鉛直方向初速Vy=Vsinθ

水平方向には等速運動なので、Vx=Vcosθ(一定)。
従って、水平方向に60m進む時間はt=60/Vcosθ。
鉛直方向には、Y=Vyt-(1/2)gt^2 (第1項は、等速運動成分、
第2項は自由落下成分)
なので、Y=Vsinθ*60/Vcosθ-(1/2)*9.8*(60/Vcosθ)^2
で、丁度この時、高さ10mとして、式を整理すると、
V^2=360*9.8/(6sin2θ-cos2θ-1)
となります。
これは、角度θで投げて、60m先で高さ10mになるためのV
を与える式です。できるだけ少ないVでこの式を満たすθ
を求めれば、もっとも効率の良い角度ということになります。
(6sin2θ-cos2θ-1)を最大にすれば良いので、これを微分して
ゼロをなるθを求めると、約49.73度になります。・・・(1)
これで、Vを求めると、26.35m/sです。時速95kmです。・・・(2)

地面に落ちるまでの時間は、最高到達点までの時間*2です。
最高到達点までの時間は、
Vsinθ/g
なので、その2倍にVcosθをかけてやれば、落下地点になります。
69.86mです。・・・(3)

通常の遠投は45度ですので、先ほど求めたVで45度で投げて、落下地点
を求めると、
70.83mになります。・・・(4)
(3)とは違いますね。(3)は柵を考慮しているので、角度が45度でない
ので、遠投としては損しています。しかし、45度では、60mで9.17m
の高さしかないので、柵を越えません。

すみませんが、#1様は少し計算ミスがあります。
上記の説明より、45度が最適ではないのですが、45として求めてみましょう。
x=60[m]、y=10[m]を代入した時、1/tanθをroot2とされてますが、1ですね。
これで式を解くと、
V=26.56m/sになります。45度だと、上記より少し初速を上げてやらないと
柵を越えない訳です。

以上

お礼

お返事ありがとうございます。非常に整理されていてわかりやすかったです。本当にありがとうございます。ただ解りやすいのと理解できてるとは、ずいぶん違うようで・・・悲しいかな私の頭では・・・でもせっかくお答えいただいたんで、理解できるよう少し勉強してみます。また解らないことがありましたら、質問させてくださいね。よろしくお願いいたします。

回答No.2

i536

柵の高さが10mなら、身長は無視できないと思いますが、
穴を掘って地表から投げ出すと考えて解いてみます。

柵の高さＨ[m]、柵までの距離をL[m]、
そして、地表から玉を投げる最小速度v[m/s]、角度θとします。
投げてからt秒後の、玉の高さ、水平距離を、それぞれ、ｈ(t)、x(t)とすると、

h(t)=-(g*t^2/2) + v*sinθ*t ---(1)
x(t)=v*cosθ*t. ---(2)

Ｌの水平位置までの玉の所要時間Tは、L=v*cosθ*Tより、
T=L/(v*cosθ)----(3)

所要時間Tのとき、玉が柵を越えなければならないので、式(1)から、
h(T)≧H、すなはち、次の式(4)が成立する必要があります。

-((g*T^2)/2) + v*sinθ*T≧H---(4)

式(3)を(4)に代入して、L=60,H=10で、v^2について解くと、

v^2≧(g*L^2)/(2*(cosθ)^2*(L*tanθ-H))---(5)

v^2を、変数θを横軸に描くと、
0°<θ<90°の範囲で、Ｕの字の形をしています。

>(1)　角度は、地面から何度をめがければ、いいのでしょうか。
>(2)　最低限必要な玉の速さは時速何キロなんでしょうか。
>
式(5)をθで微分して、v^2を最小にするθを
０＜θ＜９０°の条件で求めると、投げる角度θは、
θ=49.73°----(6)

値(6)を式(5)に代入して、平方根をとると、投げる速さvの最小値は、
v≒26.346[m/s]=94.85[km/h]---(7)

>(3)　その玉は、何メートル先に落ちるのでしょうか。
>
値(6),(7)を代入した式(1)がh(t)=0となる時間は、
4.1秒後なので、落下地点の水平距離は、x(4.1)=69.86m.

>(4)　通常の遠投で、最低限何メートル投げられれば、
>その柵を越えることができるのでしょうか。
>
一般に４５°の角度で投げ上げた場合が一番遠くまで水平方向に飛び、
そのときの最大の遠投距離はv^2/gで計算できます。
この式v^2/gに投げる速度(7)を代入すると、
遠投距離、26.346^2/g=70.8m　を有している場合、
柵を越えることができます。
ただし、身長の分を無視して考えています。

時速100kmの車が、49.73°の傾斜で飛びあがった場合、
車ごとこの柵を越えることができるということでしょうか。
自信なしのため、他の方の回答も参考に願います。

お礼

このサイトは天才の集まりなのでしょうか・・こんな瞬間にお答えがいただけるとは・・ホントビックリです。ちょっとプリントアウトしてよく読んでみます。

遠くへ投げることと、柵を越えること。私にはかなり難しく思えたんですが、さすがです。やはり専門で勉強されたのでしょうか？　本当にありがとうございます。

回答No.1

12m24

空気抵抗を考えないとすると、玉の軌跡は、
y = -(g x^2) / (2v^2 cos ^2 θ) + tan θ x
　g: 重力加速度
　y:高さ
　x:距離
　v:初速度
　θ:投げ上げる角度

　になります。
　ここで、もっとも遠く飛ぶ45℃を投げ上げ角度にすると、x=60[m]、y=10[m]とすると、必要な初速度は、
10 = -(g 60^2) / (2v_0 1/2) + root(2) 60

(g 60^2) / (v^2) = 60root(2) -10

g/v^2 = (60root(2) -10) /3600

v=root(3600g/(60root(2) -10))
=21.72[m/s]

　空気抵抗を考えない状態でも21m/sの初速度でもぎりぎり越すことができるだけで、空気抵抗を考慮して、余裕で投げるためにはおよそ90～100km/hの球を投げる必要があります。
　なお、45度でとばしたときの着地点は、
y=- x{g/ (2v^2 cos ^2 θ) x + tan θ }
x=( tan θ)*(2v^2 cos ^2 θ)/g
=68.02[m]
になります。余裕で越えるためには70～75mぐらいは飛ばす必要があります。

お礼

早速のお返事ありがとうございます。内容は難しすぎて・・・でもせっかく教えていただいたので、理解できるよう努力します。本当にありがとうございました。
時速９０K～100K か・・投げられるかな・・・