数学 不等式を満たす整数の個数の求め方。

質問

2x^2-3x+a<0を満たす整数xが丁度4コ存在する。

f(x)=2x^2-3x+aとおく。
f(x)=2(x-(3/4))^2-(9/8)+a
軸は直線x=3/4より、f(x)<0を満たす整数が丁度4個となるのは、
-2,-1,2,3なので、それぞれをf(x)に代入する。

x=3/4の軸に近い整数は、-1,0,1,2ではないのでしょうか？
問題文より、f(x)<0なのでx軸より下側の-1と2と、0と1を選んでしまったのですが
なぜx軸より上側(f(x)>0)の-2と3を選ぶのでしょうか？

宜しくお願いします。

回答No.2

akeshigsb · ベストアンサー

元塾講師です。

　たしかにあなたが考えるように軸に近い整数は、-1,0,1,2です。4個の整数はこれです。しかし、問題文をよく読んでもらえば分かりますが、「不等式を満たす整数が4つあるときのあの範囲（値）を求める」ことが目的であり、整数解そのものが何であるかが解答ではないのです。

　今回の問題は実は、以下に書くテクニックを使って解きます。
「二次関数においてf(x)とf(x+1)の間に解が一つあるときは、f(x)<0かつf(x+1)>0、あるいはf(x)>0かつf(x+1)<0」という性質があります。2つの間に解があるということは、その近い２つの整数は片方は負の数であり、もう片方は正の数になるということです。つまり、その二つの数字の間でグラフがX軸と交わるということです。
　今回、グラフの左側の部分について書くと、「満たす整数は、-1,0,1,2であるということは、f(-2)は正の数であり、f(-1)は負の数である」ということになります。同じように右側では条件を満たす2と満たさない3について考えればいいわけです。こうしたことから、満たさない数字（満たす数字の一つ違い）を入力して答えを出していきます。

　ちなみに、今回書いた内容は、あくまであなたが挙げられた問題に対して多少チューニングしたものであり、他の問題では使えない（多少変更して使う）場合もあります。例えば軸が整数であるとf(-1)等も整数になるのでf(-1)≦0等、等号（=）が付くこともあります（今回は軸が分数なので等号は不要です）。細かな条件や書き方を書くと非常に長くなるので今回の問題に必要なものを書きました（今回悩んでいる部分ではなかったので省略しましたが、判別式Dを書かないと減点されることもあります）。
ご参考までに。

お礼

ありがとうございます。
理解できました。

回答No.3

tekcycle

1.質問文を書き直しなさい。それが嫌なら入試を諦めなさい。

2.正確な図を描きましたか？

3.代入してみましたか？

4.ｙ1＝２ｘ^2－３ｘ、ｙ2＝－ａ、として、この2式の関係をグラフ上で見ると、二次式が固定できるので、もうちょっと解り易いと思う。
平方完成しなくても、二次式＝０となる点は容易に求められ、その真ん中が頂点ですね、というのもすぐに判るし。

5.その問題文が間違ってない？　ａ＜ｆ(ｘ)＜０ということは？　

6.
> 問題文より、f(x)<0なのでx軸より下側の-1と2と、0と1～～

何のこと？
どの範囲がｘ軸より下になるかは、ａに依って変わる。
だから、グラフに対してｘｙ軸が平行移動するんだって言ったじゃん。
ａの値によってｘ軸が上下に平行移動するのです。
その説明が面倒だから、ｙ2＝－ａとしてみたのですし。
で、判別式ってのは、ｙ1とｙ2が、二点で交わるか、一点で交わる(接する)か、交わらないか、ということで。

7.例えば法学部なら、入学後数学を使うことは、一般教養の数学の授業を除けばたぶん無いのでしょう。
それすら無いかもしれない。
その場合、数学の入試で見たいのは、論理性でしょう。
経済学部なら、まだ小手先の数式いじりはできているということで加点しようかとも思いますが、法学部の入試にその答案を書いてきたら、私だったら０点を付けます。本当はマイナスにしたいくらい。
めちゃくちゃなことを書いてしまう、書いていて気がつかない人ほど、普段から気をつけて丁寧に書く練習をしないと。

8.その問題文が正しいなら、私だったら頂点の座標を出して、そこから近い順にｙ1の値を出していき、ａを変えてｙ2を動かし、いくつからいくつの間なら解がいくつ、と書き出して行くでしょう。
せいぜい４つならこの方が早い。

お礼

申し訳ありません。
ありがとうございます。

回答No.1

englishquestion

> x=3/4の軸に近い整数は、-1,0,1,2ではないのでしょうか？
その通りです。

「f(-2)>0, f(-1)<0, f(2)<0, f(3)>0 を示す。」
という説明ではわかりませんか？
「ちょうど」4つなので、どこでプラスになるかがポイントなのです。

分からなければ補足してください。

お礼

ありがとうございます。