２重積分の問題です。

質問

y＝１-x^２の第一象限の部分とx軸、y軸で囲まれた図形の座標
正しい答えは(３/８、８/５）です。
写真は自分なりに解いてみました。(この解法は間違っています）

あ、ｂは０＜a＜ｂを満たす定数とする。不等式a^２≦x^２＋y^２≦b^２、ｙ≧０で表される図形のじゅうしんの座標を求めよ。
これはさっぱりわかりません。ヒントでもいいんでお願いします

回答No.4

yyssaa · ベストアンサー

No.1、No.3です。二番目の質問の計算を容易にするため、以下の
解法で計算しました。
重心がy軸上にあることは自明なので、原点を中心とする半径aの
円と同じく半径bの円及びx軸で囲まれる第一象限内の図形のx軸
回りの回転モーメントをM、同図形の面積をS、重心の座標を(0,G)
とすると、G=M/Sになります。
M=∫[0→a]y{√(b^2-y^2)-√(a^2-y^2)}dy+∫[a→b]y√(b^2-y^2)dy
=∫[0→b]y√(b^2-y^2)dy-∫[0→a]y√(a^2-y^2)dy
ここでy=bsinθとおいて
∫[0→b]y√(b^2-y^2)dy=b^3∫[0→π/2]sinθcos^2θdθ
=b^3∫[0→π/2](sinθ-sin^3θ)dθ
=b^3(-cosθ)[0→π/2]-b^3{(1/3)cos^3θ-cosθ}[0→π/2]
=(1/3)b^3
同様に
∫[0→a]y√(a^2-y^2)dy=(1/3)a^3
よってM=(1/3)(b^3-a^3)
S=(1/4)π(b^2-a^2)だから
G=(1/3)(b^3-a^3)/{(1/4)π(b^2-a^2)}=4(b^2+ab+a^2)/{3π(b+a)}
以上から重心の座標はx=0,y=4(b^2+ab+a^2)/{3π(b+a)}になります。

回答No.5

info22_

No.2です。

ANo.2の最後の行の

>重心のy座標ygは

は削除し忘れのごみですから、無視（削除）してください。

回答No.3

yyssaa

＞No.1の回答に誤りがあったので、以下の通り
訂正します。失礼しました。

「・・・の面積」を「・・・の点(0,c)の回りの回転モーメント」に訂正。
訂正後は以下の通りです。

二番目は、重心がy軸上にあることは自明なので、原点を中心とする
半径aの円と同じく半径bの円及びx軸で囲まれるy≧0の部分を直線
y=c(c＞0)で二分したときに、0≦y≦cの部分の点(0,c)の回りの回転
モーメントとc≦yの部分の点(0,c)の回りの回転モーメントが等しく
なるcを求めれば、重心の座標は(0,c)になります。

回答No.2

info22_

写真の文字が薄暗く、ピンボケでよく見えません。特に小さな文字が見えません。
なので勝手に推測して回答します。

[前半の設問]

>y＝１-x^２の第一象限の部分とx軸、y軸で囲まれた図形の座標
問題文になっていません。
求めるのは「…図形の重心の座標」ですか？

そうだとして
>正しい答えは(３/８、８/５）です。
このy座標の8/5は1以上で、重心が図形の外に存在し、明らかに間違いですね。
正しい重心の座標(xg,yg)は(3/8,2/5) です。

以下、導出計算：
M=∫[0,1] (1-x^2)dx=[x-(1/3)x^3][0,1]=2/3
Mx=∫[0,1] x(1-x^2)dx=[(1/2)x^2-(1/4)x^4][0,1]=1/4
xg=Mx/M=3/8
My=∫[0,1] y√(1-y)dy
部分積分すると
=[y(-2/3)(1-y)^(3/2)][0,1]+(2/3)∫[0,1] (1-y)^(3/2)dy
=0+(2/3)[-(2/5)(1-y)^(5/2)][0,1]
=(2/3)(2/5)=4/15
yg=My/M=(4/15)/(2/3)=2/5
(答)重心の座標(3/8,2/5)

[後半の設問]
M=(πb^2-πa^2)/2=π(b^2-a^2)/2
図形が対象なので重心のx座標xgは「xg=0」
My=∫[0,b] y*2(b^2-y^2)^(1/2)dy-∫[0,a] y*2(a^2-y^2)^(1/2)dy
=[(-2/3)(b^2-y^2)^(3/2)][0,b]-[(-2/3)(a^2-y^2)^(3/2)][0,a]
=(2/3)b^3-(2/3)a^3=2(b^3-a^3)/3
yg=My/M=4(a^2+ab+b^2)/(3π(a+b))
(答)重心の座標(0,4(a^2+ab+b^2)/(3π(a+b)))
重心のy座標ygは

回答No.1

yyssaa

＞最初の問題は意味不明です。
二番目は、重心がy軸上にあることは自明なので、原点を中心とする
半径aの円と同じく半径bの円及びx軸で囲まれるy≧0の部分を直線
y=c(c＞0)で二分したときに、0≦y≦cの部分の面積とc≦yの部分の
面積が等しくなるcを求めれば、重心の座標は(0,c)になります。