引越しと転職の際の年金手続きについて
こんにちは。
去年会社を辞めてから国民年金と国民健康保険に加入している者です。
少し分かりにくい質問でしたらすみません。
最近引越しをしまして、
新住所にて国民年金と国民健康保険の手続きを済ませました。（一昨日です。）
同時に転職活動を行っており、昨日正式な内定を頂きました。
ただ、面接の際に
「初めは試用期間を設け、その期間は社保などつかない。」という
説明を受けていたのでそのつもりで上のような手続きを済ませました。
しかし今日内定通知書を頂いた際に、
「今後正式な社員として迎えるため、社保などは加入できる。」
という旨の内容があり、どうやら会社で厚生年金など入れるようなのです。
正式な入社は来週の木曜日（一週間後）になり、
その時に色々手続きをすると思うのですが
そのまま会社の厚生年金に入っても問題ないでしょうか？
心配する点として、
・引越しに伴う国民年金、国民健康保険の手続きを最近したばかり。
（まだ保険証も届いていませんし、もちろん支払い通知書などもまだです。）
・国民年金は、去年様々な事情で一部未納していたが、
ここ数ヶ月の間で未納分をコンビニで支払った。
しかし先日役所で加入手続きを行った際、
コンビニなどの支払いは更新までに時間がかかるため
現在もコンピュータ上は未納扱いになっている とのこと。
（支払い領収書は持っているので証明はあります。それにしても更新が遅すぎです。）
なので厚生年金に切り替わる際、その辺でゴチャゴチャしてしまわないか。
・国民年金、国民健康保険よりも会社で加入したほうが得か。
などなど。
この辺の手続きに詳しい方いらっしゃいましたら
回答お願いいたします。
よろしくお願いします。
補足
ご回答ありがとうございます！ すみません、少し説明不足でした(>_<) 引っ越しすることを勤務先に、出来れば知られたくないので実家に住んでいるというままで問題がないのであれば、知らせずにいようと思っていました。でも調べたら知らせないといけないようですので、知らせます。ありがとうございました！