直線の方程式、微積

質問

(1)10x^2+kxy+2y^2-9x-4y+2=0が２直線を表す時のkの値を求めよ。ただし、kは実数とする。
解き方を詳しく教えてください。

回答No.4

yyssaa · ベストアンサー

2(y-ax-b)(y-cx-d)の２というのはなんでしょうか?
なぜそういう風にしたのか教えてください。
＞問題の方程式10x^2+kxy+2y^2-9x-4y+2=0のy^2の係数が"2"だから
(y-ax-b)(y-cx-d)のy^2の係数が"2"になるように2(y-ax-b)(y-cx-d)
としたのです。
なお、2(y-ax-b)(y-cx-d)=10x^2+kxy+2y^2-9x-4y+2とおいてkを求めた
理由は、問題の式10x^2+kxy+2y^2-9x-4y+2=0が2直線を表すなら、
10x^2+kxy+2y^2-9x-4y+2=0を満たす点(x,y)の全ては、2本の直線の
一方或いは両方の直線上の点でなければならないからです。
2(y-ax-b)(y-cx-d)=10x^2+kxy+2y^2-9x-4y+2が成り立てば、この式の
右辺=0を満たす点(x,y)は当然左辺=0を満し、左辺=0を満たす点は
(y-ax-b)=0と(y-cx-d)=0のいずれか或いは両方を満たすことになるので、
それらの点(x,y)は、直線y=ax+bと直線y=cx+dのいずれかの直線上の点、
或いは両直線上の点(両直線の交点)になります。

お礼

回答ありがとうございます。
すごくわかりやすかったです。
ありがとうございました。

回答No.3

spring135

＃2です。
>
(y-1)^2+(ky-9)x/2+5x^2=0　　　(1)

これが因数分解されるためには

(y-1+ax)(y-1+5x/a)=0　　　　　　(2)
なぜ(y-1+ax)(y-1+5x/a)=0こういう形をとるのかわかりません。

y-1=Yとおくと少し簡単になります。

（1）は

Y^2+5x^2

がを含みます。これは

(Y+ax)(Y+5x/a)

とすれば

Y^2+5x^2+(a+5/a)xY

となり、2乗の項はカバーされます。後は

xYの項が合うようにaを調整したわけです。

お礼

なるほど、丁寧に回答ありがとうございました。

回答No.2

spring135

10x^2+kxy+2y^2-9x-4y+2=0より

(y-1)^2+(ky-9)x/2+5x^2=0　　　(1)

これが因数分解されるためには

(y-1+ax)(y-1+5x/a)=0　　　　　　(2)

の形になる必要がある。

(2)を展開して(1)に等しくなるためには

ax(y-1)+5x(y-1)/a=(ky-9)x/2

整理して

2a^2(y-1)+10(y-1)=a(ky-9)

yの係数が等しいためには

2a^2+10=ak (3)

定数項が等しいためには

-2a^2-10=-9a (4)

(4)より

2a^2-9a+10=0

(2a-5)(a-2)=0

a=2 または　a=5/2

1)a=2のとき

(3)よりk=9

2)a=5/2のとき

(3)よりk=9

いずれもk=9であった。

従って

10x^2+kxy+2y^2-9x-4y+2=(y+2x-1)(2y+5x-2)=0

お礼

回答ありがとうございます。
(y-1)^2+(ky-9)x/2+5x^2=0　　　(1)

これが因数分解されるためには

(y-1+ax)(y-1+5x/a)=0　　　　　　(2)
なぜ(y-1+ax)(y-1+5x/a)=0こういう形をとるのかわかりません。
解説お願いします。

回答No.1

yyssaa

＞2直線をy=ax+b、y=cx+dとおく。
2(y-ax-b)(y-cx-d)=2acx^2-2(c+a)xy+2y^2+2(ad+bc)x-2(d+b)y+2bd
の右辺と10x^2+kxy+2y^2-9x-4y+2の係数を比較して
10=2ac→5=ac・・・・・・・・・(ア)
k=-2(c+a)・・・・・・・・・・・・(イ)
-9=2(ad+bc)・・・・・・・・・・(ウ)
-4=-2(d+b)→2=(d+b)・・(エ)
2=2bd→1=bd・・・・・・・・・・(オ)
(エ)(オ)よりb^2-2b+1=0、(b-1)^2=1、b=1、d=1
(ウ)に代入、
-9=2(a+c)、a+c=-9/2
(イ)に代入、k=-2*(-9/2)=9・・・答

お礼

回答ありがとうございます。
＞2直線をy=ax+b、y=cx+dとおく。
2(y-ax-b)(y-cx-d)の２というのはなんでしょうか?
なぜそういう風にしたのか教えてください。