放物運動です

質問

初速度v0でθ方向へボールを打つとするとき、ボールが外野スタンドの上端に接してホームランとなる条件、及びホームランとなる最小の初速度と角度を求めなさい
お願いします

回答No.1

Quarks

この問題を、どのように解釈(数式で表現できるように)すれば良いかを考えましょう。

まず、「フェンスの上端に接してホームランになる」ということは、どのように解釈すれば良いか。
図をじっくり見ましょう。

ボールがどのように飛んでいこうとも、その軌跡が「放物線」になることはわかります。
そして、今問題にしている軌跡は、点Ｏ(その座標は x=0,y=0)と、フェンスの上端の点Ｐ(x=Ｌ,y=ｈ)とを通る、上に凸の放物線です。
もちろん、その放物線上の２点だけがわかっていても、放物線は１つには決まりませんから、可能な軌跡は無数に有ることでしょう。つまり、この条件だけでは、軌跡（＝ボールの飛行軌道）を決定することはできないということです。
とは言え、１つには決まりませんが、どんな軌跡になるかを数式で表現することはできます。この数式が、問題で要求されている１つ目の答(ボールが外野スタンドの上端に接してホームランとなる条件)となります。
物理の問題に戻って、その式を作ってみましょう。
求める軌跡が満たす条件は、
　条件：ボールが水平方向に L[m]進んだとき、地面からの高さがｈ[m]
です。ボールが移動するためには、時間を要しますから、ＯからＰに達するまでの時間をｔ[s]としてみましょう。初速度をＶ[m/s],射出角度をθとします。
ボールの運動は、よく知られているように、水平方向（つまりx軸方向）には「等速運動」、鉛直方向（y軸方向）には、「鉛直投げ上げ運動」ですから…
　Ｌ＝(Ｖ・cosθ)・ｔ
　ｈ＝(Ｖ・sinθ)・ｔ－(1/2)ｇ・ｔ^2
２つの式から、ｔを消去すれば、軌跡の方程式（つまり、答）が得られます。
　ｈ＝Ｌ・tanθ－(1/2)・ｇ・(Ｌ/(Ｖ・cosθ))^2
これが、１番目の答になります。

次の問題に取りかかるために、三角関数部分を統一しておきましょう。三角関数の公式
　1/(cosθ)^2＝１＋(tanθ)^2
を使うと、三角関数部分はtanθの形に統一できて
　ｈ＝Ｌ・tanθ－(1/2)・ｇ・(Ｌ/Ｖ)^2・(１＋(tanθ)^2)
となります。こちらを答としても良いかも知れません。

フェンスの上端をかすめてホームランになる条件は手に入りました。次に考えるのは、初速度Ｖの最小値です。初速度が極端に遅かったら、ホームランになるはずがありませんから、確かに、ボールの初速度には最小値が有るだろうということが予想されます。
先の答の式は、２つの変数Ｖとθの方程式ですから、Ｖをθの関数として表現できることを意味しています。そのＶが正の最小値となる条件を探せば良いということになります。見易くするために
　tanθ＝ｘ
の置き換えをして、Ｖ^2　を表す式に変形すると
　Ｖ^2＝((ｇ・Ｌ^2)/2)・{(1+ｘ^2)/(Ｌ・ｘ－ｈ)}　　式（ア)
右辺が最小値を持つ条件を調べれば良いことになります。
ただし、
　ｘ＝tanθ>＝(ｈ/Ｌ)
という条件が付いています。この条件が無いと、どんなにＶが大きくてもフェンスを超えられません。理由は、図で確かめて下さい。とはいえ、問題の性質上、この条件をクリアする値が存在することは明らかですが…
最小値を求める作業に戻ります。Ｖ^2を表す式の定数部分は省略して
　f(x)＝{(1+ｘ^2)/(Ｌ・ｘ－ｈ)}
としておきます。
　　f(x)が最小値を持つ条件ですが、問題の性質上、最小値を持つことが明らか
　　なので、右辺は極値を取ることが明らかです。言い換えれば、f(ｘ)をｘで
　　微分して得られる導関数が０となる条件こそが、求める条件だと想像できます。
細かい変形の確認は、質問者さんにしてもらうことにして省略しますが
　ｘ(＝tanθ)＝{ｈ＋√(Ｌ^2－ｈ^2)}/Ｌ　　式（イ）
のとき、ｆ(ｘ)は最小値を取るようです。そのときのＶの値は、（ア）に（イ）を代入して
　Ｖ＝…

ちなみに、それらしい値を代入してみると、Ｌ,ｈの値にもよりますが、
Ｖは、ほぼ１４０[km/h]くらい、θは４５°をちょっと超えるくらいの角度のようです。