中央値の求め方

質問

母集団から順次サンプル xi が得られるとします。
十分小さな a>0 に対して y(0) = x0 として
y(i) = y(i-1) + (xi - y(i-1)) * a
を求めれば、y(i)は母集団の平均値に近づくように思われます。

同様にして z(0) = x0 として
z(i) = z(i-1) + sign(xi - z(i-1)) * a
を求めれば、z(i)は母集団の中央値に近づくように思われます。
ただし、signは引数の正・ゼロ・負に応じて1,0,-1の値になる関数。

このことに関して理論的に解析されているのでしょうか。

また、a の値は最初は大きくして、次第に小さくしたほうが効率よく精度が上がると思いますが、
これに関しても何か分かっているのでしょうか。

回答No.1

noname#227064

平均値については
ｙ(n) = a(n)x(n) + (1-a(n))a(n-1)x(n-1) + … + (1-a(n))(1-a(n-1))…(1-a(k+1))a(k)x(k) + … + (1-a(n))(1-a(n-1))…(1-a(2))a(1)x(1) + (1-a(n))(1-a(n-1))…(1-a(1))x(0)
となるかと思います。
従って、その期待値E[y(n)]と分散V[y(n)]は、母集団の期待値をμ、分散をσ^2とすると
E[y(n)] = μ{a(n) + (1-a(n))a(n-1)x(n-1) + … + (1-a(n))(1-a(n-1))…(1-a(k+1))a(k) + … + (1-a(n))(1-a(n-1))…(1-a(2))a(1) + (1-a(n))(1-a(n-1))…(1-a(1))}
= μ
V[y(n)] = σ^2[a(n)^2 + {(1-a(n))a(n-1)x(n-1)}^2 + … + {(1-a(n))(1-a(n-1))…(1-a(k+1))a(k)}^2 + … + {(1-a(n))(1-a(n-1))…(1-a(2))a(1)}^2 + {(1-a(n))(1-a(n-1))…(1-a(1))}^2]
となります。
もし、各a(i)が同じであれば、
E[y(n)] = μ
V[y(n)] = σ^2[{a + 2(1-a)^(2n)}/(2-a)]
であり、aは十分小さいとのことなのでn→∞とすると、それぞれμとσ^2[a/(2-a)]に収束します。
つまり、a(i)一定のときy(n)はμのまわりをばらつくが、何時までたっても一致しないということです。

中央値についてはよくわかりませんが、z(n)が中央値νへ収束すると仮定すると
ν = ν + sign(xi - ν) * a
とならないといけませんが、sign(xi - ν)が-1,1の値をとる確率はそれなりにあると思われるので、aは0に収束しないといけません。

お礼

詳しく解説していただきありがとうございます。

補足

平均値のほうは指数平滑法と同じであること、理論的解析が容易なので、すでに確立された理論が存在するのではないかと思い、参考までに挙げておきました。

中央値は理論的解析は平均値に比べると難しくなると思います。
しかし、式そのものは指数平滑法と類似していますので、すでに研究されていればと思い質問しました。

中央値に対応する式に関しても指数平滑法のように「ｘｘ平滑法」などと名付けられていれば教えてください。
それを参考に検索したいと思います。

中央値に対応する式は、実用上大変重要です。
平均値より中央値のほうが安定している(異常値の影響を受けない)だけでなく、xiの値が不明でも計算可能だからです。

おおざっぱな例をあげれば
ある病気を治療する薬の最低必要投入量をxiとすれば
各症例ごとにxiは変動します。
xiを知ることはできませんが、薬をyi投入して病気が治れば
sign(xi-yi)=-1
病気が治らなければ
sign(xi-yi)=1
となり、中央値を計算することができるからです。