落下時の速度と加重

質問

物理、及び数学の知識は、既に良いところ高校入学レベルです。

例えば、重量１０キロのボーリングの球が、１００ｍの高さから落ちた場合、地面寸前の速度と、落下した事によって球に掛かる重量（１０キロの物が何キロに相当しているか）を計算する式が有りましたらお教え下さい。落ちる物質の形状によって空気抵抗等は当然変わると思いますが、その辺りが計算に影響するのであれば、簡素で構いませんので書き添えて頂けると幸いです。

お知恵拝借。

回答No.5

noname#175206 · ベストアンサー

お礼、ありがとうございます。#1です。

　ちょっと説明が分かりにくかったかもしれません。申し訳ありません。

　要は、落下を受け止める距離で考えるなら、落下による位置エネルギーを受け止めるのに、逆向きの位置エネルギーと考えればいいわけです。これは、力学的エネルギーが「力×距離」で表されるためです。

　また、落下を受け止める時間で考えるなら、運動量の変化である力積が「力×時間」であることを使って、落下物体の運動量（質量×速度）と等しい力積を逆向きに与えるということです。

　どちらも、落下物体の重量は常にかかるので、足しておく必要があります。

　空気抵抗を考慮すると、落下速度は遅くなるので、受け止める力は減衰する方向で働きます。

　これが、落ちて跳ね返ると、その反発係数を考慮して、跳ね返る瞬間の上昇速度も考慮した力学的エネルギーを足す、あるいは運動量変化が増えることを考慮する必要があります。

　さらに、落下物体と地面が弾性体だとすると、非常に厄介な計算となります。衝突現象が、物体と地面内部の弾性波で起こるため、それを考慮して行かねばなりません。

　それについて、「間違いだらけの物理概念」（パリティブックス）という書籍で、1次元でのモデルとして、2本の金属棒の弾性波による衝突現象として1章を使って解説がありますが、そんな単純なモデルでも一筋縄では行かない感じです。

　少し前にこのカテで見た質問では、2つの物体の衝突の計算で、バネを介したものになっていました。もし金属などの硬い物質で実験すると、弾性波の支配する衝突となってしまい、計算とは異なる現象となるからでしょうね。

お礼

重さと高さを入力すれば一発解決..........だと良いなという気軽な気持ちで質問してしまいましたが、日本語を解読するのも四苦八苦の長編のご回答で、正直反省しています。意外に難しい問題だったのですね。お時間掛けてお答え頂き有難うございます。しばらく通勤時間が短く感じられそうです。有難うございます。

回答No.9

noname#221368

「もういい加減いいよ」と、ここのオーナーは思ってるかも知れませんが・・・。ヘルツの式について喋れる機会なんてあまりないので、お許し下さい・・・。

　#8さんへ。

＞地面や衝突物を弾性体とみていない・・・

　いえ、正確にはヘルツの接触理論は、完全に弾性領域です。この前の式の2.108は、単位付きの比例定数ですので、2.108の次元を考慮してやれば、同じベキ数になる気がします。また前述の式は省略形ですので、オリジナルの式を整理すれば、δに相当する部分があるはずです。とってもやる気にはなれませんが・・・(^^；)。

＞・変形量がわかっているものとして計算する(それはズルい)

　別にズルくないですよ(^^)。それを言ったら、ラーメ定数に推奨値を設定する方が、よっぽど手抜きだ。

＞・変形にかかわらず一定の力が発生するとしている・・・

　以前、落石防護擁壁（コンクリートと緩衝材付コンクリート）に鉄製の重錘をぶつける実規模大実験を扱った事があるのですが、この考えはかなりいけますよ。その事もあって、本質的に同じだと感じました。

＞ヘルツの式では、構造によらずに一定の係数としているのは、実験的に決めているのでしょうか。（同じコンクリート板にぶつかる場合でも、厚さ10cmと10ｍでは衝撃が違う）

　ヘルツの式の前提は、コンクリート板が無限に厚いです。厚ければ厚いほど変形しにくいので、安全側の（大きな）衝撃力が得られます。その結果、過大設計になる可能性はある訳ですが、土木分野では基本的に気にしません。最大の最大の衝撃力で設計したがります。最適と思われる設計を行って人が死んだら、エライ目に合うからです(^^；)。

　とは言え、やり過ぎも出来ませんので、上述の実規模大実験では、「α×落体便覧式」の形で実験係数αを算定しました。擁壁の高さは2m，厚は平均1m，延長は5m。1tの重錘を1m～11mの落下範囲で落としました。

　驚いた事にαは、落下高さに関わらず擁壁（被衝突体）の材質で、ほぼ一定になります。この意味は、弾塑性や破壊の（非線形の）影響は、本当に衝突点近傍に限られ、衝突時間とその間に渡される伝達運動量は、被衝突体の材質で決定される弾性挙動により、ほぼ決まるという事です。「ヘルツの理論は正しい！」と思いました。

　でも動的な衝突実験は、取り扱いがかなり難儀です。その意味で、「応用力学・公式と例題／橋本徹夫／山海堂」の式は、すごく実用的ですよね？。そして上記の結果を考えると、すごく良い近似を与え、厚さによる変形量もちゃんと考慮できます。それに対して土木は、力まかせの実規模大実験を行い、設計は大雑把です。

　やっぱり機械系は精密なんだなぁ～、と思いました(^^；)。

お礼

勉強に成る以前の凄い世界が展開しているというのが実感。昨今の隕石事件で疑問に思った事が大変な事に成っている印象です。ちょっとでも理解出来る様に頑張ります。

回答No.8

foomufoomu

>> #4　ddtddtddtさん、なるほど、勉強になりました。
私の書いたのとは、また別の公式があったのですか。

しかし、ヘルツの公式のべき数(累乗の数)を少しごまかすと（δ=mg/剛性　なので）
P=係数*√(ｈ/δ)
の形になりますから、私の式と似ているようです。
べき数に　^(2/3)とか^(3/5)がでてくるのは、地面や衝突物を弾性体とみていない(力-変形曲
線が直線でない)ためではないでしょうか。弾性範囲を超える変形がある場合には（たいていの場合そうですが）、こちらの方がよく一致しそうですね。

＞(1)と#3，#2さんの式は、たぶん本質的に同じものです。仮定する原理は同じですから。
出発点は同じエネルギー式ですが、(1)は、
・変形量がわかっているものとして計算する(それはズルい)
・変形にかかわらず一定の力が発生するとしている（衝突によるエネルギー式に仕事式を使っている。私の式はバネの変形ポテンシャルエネルギー）
としている点で違っています。

それから、δは、かんたんな構造のものなら、公式から計算できます。
http://www.geocities.jp/iamvocu/Technology/kousiki/kousiki-kouzouhari/kousikikouzouhari.html
ヘルツの式では、構造によらずに一定の係数としているのは、実験的に決めているのでしょうか。（同じコンクリート板にぶつかる場合でも、厚さ10cmと10ｍでは衝撃が違う）

回答No.7

noname#221368

#4です。大きなお世話な補足です。

　日本道路協会の落石対策便覧に載っているヘルツの公式の実用形（通称、落体便覧式）は、

　　P = 2.108・(Mg)^(2/3)・λ^(2/5)・h^(3/5)　　　(1)

となります。Pは衝突時の最大衝撃力（kN），λは被衝突体（地面）のラーメ定数（要するに弾性係数，kN/m^2），hは落体の落下高さ（空気抵抗なし，m），Mは落体の質量(t)，gは重力加速度（m/s^2）です。

　(1)は、上記単位系で使用する必要があります（比例係数2.108の単位がそれ用なので）。2.108も理論的に導かれたものです。(1)と#3，#2さんの式は、たぶん本質的に同じものです。仮定する原理は同じですから。

　(1)のミソは、変形量δを測らなくても良いところです。そのかわり被衝突体のラーメ定数（弾性係数）が必要です。多くの代表的な材料に関しては（鉄とかコンクリートとか地面とか）、JIS規格（と落石便覧）で推奨値が既に決まっています。また変形量の測定より、弾性係数の測定の方が手軽なんです。

　(1)を実用形と言うのは、厳密には2.108の後に本当はもう1項あって、それには落体の弾性係数と被衝突体の密度が入っているのですが、全体に1/12乗の因子がかかるので、1として十分だぁ～という、実用的扱いです。

　(1)は、木製デスクにビー玉を落としたくらいの落石規模では、絶体に成り立つと思って良いです。木材の弾性係数などは、検索するとけっこう出てきます。また10m程度の落下では、空気抵抗はほとんど効いて来ません。

　　http://www.daiichi-c.co.jp/authors/ushiro/study/fallingstone3.pdf

回答No.6

foomufoomu

No.3 (No.2)回答者です。

>>No.4
私がNo.3に書いた式は、「ヘルツの衝撃力公式」というのですね。
私は機械系の人が架台等の設計をするために書かれた本（らしい）「応用力学・公式と例題／橋本徹夫／山海堂」という本で見つけました。他の本で見たことはありませんから、あまり知られていないものなのでしょうね。

No.3を見れば分かりますが、それほど難しい式ではないし、原理はNO.3の最後のほうに書いたものです。(前述の本には原理は載っていませんでしたが、式を見てわかりました。)
落下距離hに地面の変形xを加えて考えるのと、常に1Gの重力がかかっている点を考慮しないといけないので、No.3の式には「１」が２回入っています。これがない場合（水平方向の衝突で、ｈに比べてxが小さいので無視できる場合）は
K=√(2h/δ)
と、簡単になります。多くの場合、これで計算してもそれほど誤差はありません。(鉛直落下の場合は、重力の影響を加えて　K=1+√(2h/δ) とする)

なお NO.1の(1)が半分正解と書いたのは、前に書いたように、変形量や衝突時間がわかっているものとして考えている点が一番大きいですが(それがわかれば、苦労しませんって)、そのほかにもNo.1 (1)では衝突中の加速度を一定として考えているということがあります。実際は、ばね(弾性体)なので、変形が進むほど反発力(衝撃力)が大きくなり、加速度も大きくなります。No.3の式は最大の衝撃力を求める式です。

回答No.4

noname#221368

衝突した瞬間に、どれだけの衝撃力を受けるのか？、そういう話だと思いました。

　これは難しい問題なんですよね。なので有名な理論式は、おぶん一個しかありません。ヘルツの衝撃力公式という奴です。

　えっ？、聞いた事ない？。・・・当然です(^^；)。土木分野でしか使われない、非常に知名度の低い式です。

　ヘルツの衝撃力公式は、無限に厚い地盤（地球）に球が、真空で一定高さから落下した時、衝突の瞬間の最大衝撃力を、弾性理論に基づいて計算したものです。最大衝撃力は、作用・反作用の法則によって、地盤と球の双方において同じです。

　この式自体、相当に扱いずらいので、（日本道路橋協会だったかな？の）「落石対策便覧」において、その実用形が示されています。土木屋はこの本がないと、落石対策工を設計できません(^^；)。

　ヘルツの衝撃力公式は、かなり理想化された条件下でのものです。しかしそれでもこの式は、経験的に概ねは正しいんですよ。特に、ヘルツの衝撃力公式×係数αを実験的に決めて使用すれば、ほぼ間違いない結果を出してくれます。その意味で、「（１０キロの物が何キロに相当しているか）を計算する式」はあります。

　最後に空気抵抗ですが、これはまた別の話になります。実用的な流体力学や水理学の本には、Ｄ＝β×Ｓ×v^2の形で、投影断面積Ｓを持つ物体が、速度vで走っている瞬間の抵抗力Ｄを計算する「資料」が載ってます。

　ここで投影断面積Ｓとは、vで走ってる物体に、v方向の真後ろからライトを当てて、前方にあったと仮定するスクリーンに写る影の大きさの事です。

　じゃあ、同じ投影断面積を持つ、○○系の新幹線と山の手線の車両は、同一速度vで走ったら、同じ空気抵抗Ｄを受けるの？となりますが、そんな事はありません。だからこその「資料」なんですよ。だからこその「抵抗係数β」なんですよ。βは、多数の実験によって得られたものであり、どんな形状の物体であるかは、資料に明記されています。

お礼

重さと高さを入力すれば一発解決..........だと良いなという気軽な気持ちで質問してしまいましたが、日本語を解読するのも四苦八苦の長編のご回答で、正直反省しています。意外に難しい問題だったのですね。お時間掛けてお答え頂き有難うございます。しばらく通勤時間が短く感じられそうです。有難うございます。

回答No.3

foomufoomu

最初の数行に余計な文字が入ってしまっていたので、もう一度書きなおしします。
----------------------
空気抵抗についてはとりあえず無視して（形状によって抵抗が違うこともありますが、考慮すると式が恐ろしく複雑になります）、

落下速度については、よく知られた式なので、前の回答にもあるように
http://keisan.casio.jp/exec/system/1204505696
で、OK

衝突時の衝撃力は、前の回答の(1)は途中まで正解、(2)ではまったくだめ。　
衝突時間なんて、簡単にわかるわけない。（運動方程式をしこしこ解けば出るが、衝突時間が出る前に衝撃力が求められてしまう。この場合でも地面のばね係数などの物性定数が必要）

受け止める距離は・・・それも含めて次の式で解けます。

地面が弾性体とみなせる場合（じょうぶな鉄板や厚いゴムに落ちるような場合）は、
まず、球をそっと地面に置いて、地面の変形量δを測定します。（地面の硬さを測定する。鉄板に落ちるのと、ゴムに落ちるのでは、とうぜん衝撃力が違います。）
これより、落下高さがhのとき
K=(1+√(1+2h/δ))
とすれば、落下時の変形、地面にかかる力とも、そっと置いたときのK倍になります。

この式は、
最初の位置エネルギー　mgh
地面の変形のポテンシャルエネルギー　1/2*(mg/δ)*x　　(xはδ分をのぞいた衝突時の変形量)
が等しいとすれば、導かれます。

回答No.2

foomufoomu

この式は、
最初の位置エネルギー　mgh
地面の変形のポテンシャルエネルギー　1/2*(mg/δ)*x (xはδ分をのぞいた衝突時の変形量)
が等しいとすれば、導かれます。空気抵抗についてはとりあえず無視して（形状によって抵抗が違うこともありますが、考慮すると式が恐ろしく複雑になります）、

落下速度については、よく知られた式なので、前の回答にもあるように
http://keisan.casio.jp/exec/system/1204505696
で、OK

衝突時の衝撃力は、前の回答の(1)は途中まで正解、(2)ではまったくだめ。　
衝突時間なんて、簡単にわかるわけない。（運動方程式をしこしこ解けば出るが、衝突時間が出る前に衝撃力が求められてしまう。この場合でも地面のばね係数などの物性定数が必要）

受け止める距離は・・・それも含めて次の式で解けます。

地面が弾性体とみなせる場合（じょうぶな鉄板や厚いゴムに落ちるような場合）は、
まず、球をそっと地面に置いて、地面の変形量δを測定します。（地面の硬さを測定する。鉄板に落ちるのと、ゴムに落ちるのでは、とうぜん衝撃力が違います。）
これより、落下高さがhのとき
K=(1+√(1+2h/δ))
とすれば、落下時の変形、地面にかかる力とも、そっと置いたときのK倍になります。

この式は、
最初の位置エネルギー　mgh
地面の変形のポテンシャルエネルギー　1/2*(mg/δ)*x　　(xはδ分をのぞいた衝突時の変形量)
が等しいとすれば、導かれます。

お礼

重さと高さを入力すれば一発解決..........だと良いなという気軽な気持ちで質問してしまいましたが、日本語を解読するのも四苦八苦の長編のご回答で、正直反省しています。意外に難しい問題だったのですね。お時間掛けてお答え頂き有難うございます。しばらく通勤時間が短く感じられそうです。有難うございます。

回答No.1

noname#175206

空気抵抗を無視するシンプルな例で。

　まず、高さhから落ちて、それをキャッチするとし、その瞬間での重さmのボーリングの球の速度をvとしましょう。

　高さhの位置エネルギーがキャッチする瞬間での運動エネルギーと等しいことを利用すると、以下の関係式になります。なお、^2は2乗を表します。gは地表での重力加速度（9.8m/s^2、sは秒）です。

　mgh＝mv^2/2　∴v＝√(2gh)

　この速さでボーリングの球は落ちてきます。そしてボーリングの球をキャッチ、等加速度aで減速して速度0まで持って行きます。一瞬で止めるとしてしまうと、運動エネルギーや運動量は有限でも、力が無限大となり、計算不能になります。

　受け止めてから速度0にするまで、その距離で考えるか、時間で考えるかの二通りがあります。

　まず、受け止める距離Lで考えてみましょうか。式の変形でお気づきになられるでしょうけど、実はこれだけなら、速度vは求めなくてよかったのですが、まだ続きがあるので、vは求めておきました。

　これは、高さhから重力加速度gで落ちて来て、キャッチするまでの関係を、運動エネルギーを位置エネルギーに変換することになり、逆にしたものと考えれば良いということになります。

　maL＝mv^2/2＝m(√(2gh))^2＝mgh　∴a＝gh/L

　これに、F＝maというニュートンの基本式を使えば、ボーリングの球にかかる力は静止でもかかる力も含めて考慮すると、

　F＝ma＝mgh/L＋mg＝(h/L＋1)mg　―――(1)

ということになります。高さと受け止める距離をメートルで表すなら、g＝9.8　でOKです。

　次は、時間で考えてみましょう。この場合は、運動エネルギーの代わりに、運動量mvを使うのが便利です。一定の力Fで、時間tで運動量mvを0にするようにします。運動量の変化（mv→0）は、力積といい、これは力Fと時間tで表すとFtです。もうボーリングの球の速度vは計算してありますので、以下の関係式が出ます。

　Ft＝mv＝m√(2gh)　∴F＝m√(2gh)/t

　これに、ボーリングの球の静止時の重量も加えた力になります。

　F＝m√(2gh)/t＋mg＝m(√(2gh)/t＋g)―――(2)

　tを秒、hをメートルで表せば、やはり　g＝9.8　でOKです。

　受け止める距離を決めておいてであれば(1)、受け止める時間を決めておいてであれば(2)で、後は高さhにどれだけの高さから落ちて来るか入れれば、どんな場合でも、ボーリングの球にかかる力Fは計算できます。

　それを重力加速度g（9.8m/s^2）で割れば、換算した重量とすることができます。

お礼

自らを日本人かと疑ってしまう文章が書かれてあって、おののいておりますが、頑張って解読させて頂きます。丁寧に有難うございます。