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サイコロを振り続けると
一般的な6面のサイコロを振り続けていれば、いつかは『必ず』１の面が出ますか？
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お礼、ありがとうございます。#3です。 >「サイコロを振り続ければ、いつかは必ず１が出る」という命題は真か偽か。 という問題があったとして、この命題が偽であることを証明する式ってあるんでしょうか？ 数学の式としては、おそらくないです。それは、命題を数式で書けなければ、その真偽を数式で処理して判断したり、証明したりすることができないからです。 その命題を数式化するとして、サイコロを振り続けるということを、たとえば1～6なる自然数の乱数による数列で表すことになるでしょう。乱数は規則性が表せないからこそ乱数なので、サイコロの出る目を数列で表すとしても、意味のある処理をできる数列にはなりません。 いきなり命題の偽（あるいは真）を証明しようとしても、同じ壁にぶつかります。たとえば、無理矢理に「a1=3, an+1=anという数列（n＞1）」とやっても、それが乱数による数列で成り立つことは示せそうにもありません。せいぜい、あるいは、結局、直観で「それはサイコロの乱数としてあり得る」とするしかありません。 確率が無限小だということは、個人的な直観で申し上げました。しかし、サイコロの有限回の試行のパターン数と、1が決して出ないパターン数による確率計算はできます（私以外ならorz）。それの無限大回数での極限値を求めることも可能なはずですが、数値としては0となるはずです。そして、「その0は無限小でない」とは証明できないでしょうね。こういう確率計算で試みても、命題「いつか必ず1が出る」を偽とする証明はできない感じです。 なお、「その0は無限小である」とも証明不能でしょう。「いつか必ず1が出る」を真とも言えないわけです。確率で現れる無限小は0に対して、そういう性質があります。それが、なんとも嫌な感じではあります（そのため、必要で可能ならε-δ論法を用いたりする）。
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- jmh
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それは、「どういう」サイコロなんでしたっけ？
お礼
通るかっ・・・・！こんなもん・・・！
- MagicianKuma
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数学の世界で確率を扱うときには、確率空間の公理から出発して様々な結論を導いていきます。このとき、実際の自然現象（サイコロを振るなどの）に関して何の言及もしません。サイコロを1回振ったとき、確率空間をΩ={1,2,3,4,5,6},F=Ωのべき集合,P({ω∈Ω})=1/6とするのは、単なる仮定です。もっと簡単に言うと、「サイコロの目はどれも同様な確からしさで出る。」とか「サイコロを連続して振るとき、それらは独立な試行。」とかは単なる仮定です。（もちろん多くの人が十分納得するであろう仮定です）でこの仮定の妥当性は数学的に証明できるものではありません。 ですが、この仮定を置くと、数学的にlim[n→∞]p(n) =1が証明されます。ただし、これをどう解釈するかは数学の範疇外です。 以下の流れです。 (1)自然現象を確率論的に考察したい→確率モデルを仮定する。その確率モデルが妥当かどうかは数学の範疇外です。証明できるものではありません。 (2)確率モデルから数学的に導き出された（つまり証明された）いろいろな結論がでる。これは数学です。 (3)その結論を解釈する。例えば確率0になったから、実際の自然現象でもそれは決して起きない。これは解釈です。数学の範疇外です。この解釈が正しいかどうか証明できる事ではない。 ですから、私自身がどう答えるかといえば、 (1)「サイコロの目はどれも同様な確からしさで出る。」し「サイコロを連続して振るとき、それらは独立な試行。」は妥当なモデル化です。 (2)なので、「そのモデルに従えば、数学でlim[n→∞]p(n)=1が導き出せる。」 (3)なので、「サイコロを振り続けるといつかは1の目が出る。」と考えて良い。
お礼
結論まで含めてとても納得できる説明でした。 皆様のおかげでこの質問における数学的な考え方が少し理解できたと思います。確率、可能性って面白いですね。ありがとうございました。 数学が得意な人は理由を説明してくれるのでいいですね。根拠なく「出るに決まってる」って人が一人もいなかったのは少し驚きです。
- alice_44
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「確率が 0 である」ことと 「決して起こらない」ことは、違うことなんですよ。 今回の「サイコロで永遠に１が出ない確率」も、そうだし、 よく挙げられる例に、「角度で測る連続値のルーレットで、 厳密に丁度 0 が出る確率」なんてのもあります。 サイコロ n 回以内に１が出ない確率は p(n) = (5/6)^n で、 lim[n→∞]p(n) = 0。これは、無限小とかでなく、厳密に 0 だけれども、それでも絶対に起こらないとは言いきれない。 まずめったに起こらないというだけです。 連続確率を扱うときには、この辺のことは感覚的に 解ったほうがいいんでしょうね。 ルーレットの例のほうが、感覚を掴みやすいかもしれない。 円盤に 0～360 のメモリが振ってあり、ルーレットになっています。 その出目は、1 度キザミではなく、0 度の位置から測った実数値の 角度で得られるものとします。円盤に歪みや偏りが無いとすれば、 出目が a 度～ b 度の間に含まれる確率は (b-a)/360 でしょう。 厳密に丁度 a 度がでる確率は、b = a の例にあたり、0 です。 この計算は、a が 0～360 のどれであっても成り立つので、 確率 0 の目はでない…とすると、出る目がなくなってしまいます。 ルーレットを回せば、何らかの目は出るのにね。 連続確率って、こういうものです。 慣れるしかないと思いますが。
お礼
なるほど、数学的な感覚に慣れないといけませんね。 ルーレットの例は大変わかりやすかったです。確率というのは奥が深いですね。 勉強になります。ありがとうございました。
無限回の試行ができると考えた場合でも、1の面が出ないというパターンはあり得ます。たとえば、「何度やっても3の面だけが出続ける」ということは、サイコロの仕組みとして否定できませんから、あり得るとする必要があります。 もし、「決して起こらない」と「確率は0」とを等価だと定義するならば、「無限回の試行で、1の面が出ない確率は0でない」となります。そういう場合は、「確率は無限小」という言い方で『逃げる』ことがあるようです。 この場合の無限小とは、正の場合で言うと「0でないが、どんな数と比べても必ず、より小さい」という数のような概念です。無限大を「どんな数と比べても必ず、より大きい」とした場合の対となる概念と言えるかもしれません。
お礼
無限小という表現で逃げるというのは上手い考えですね。納得しました。結論としては必ずでるわけではないということですね。ありがとうございました。 重ねて質問して申し訳ありません。 「サイコロを振り続ければ、いつかは必ず１が出る」という命題は真か偽か。 という問題があったとして、この命題が偽であることを証明する式ってあるんでしょうか？
- garasunoringo
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現実的にはまず出ますが、数学的には1億回振っても1京回振っても出ない確率はゼロではありません
お礼
私もそう思ったので質問しましたが、やはり無限回試行すると確率は0に収束するようです。 でも私もゼロではない気がしてます。ありがとうございました。
- Saturn5
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「いつか」が未来永劫を指すのならばどこかで１の目が出ます。 しかし、有限時間であると出ない可能性はあります。 １０秒に１回、サイコロを振るとして、１の目が出ない確率は １分（６回） （５／６）＾６＝０．３３ １０分（６０回）（５／６）＾６０＝０．０００１８ １時間（３６０回））（５／６）＾３６０＝３．１×１０＾－２９ ということで、１時間もすればほぼ考えられないような低い確率となります。
お礼
計算例に従って考えると、1の目が出ない確率を（５／６）＾ｎとした場合ｎが無限になれば、確率は0。つまり『必ず出る』ということですね。 わかりやすい解説でした。ありがとうございました。
お礼
再回答ありがとうございました。 やはり数学的な真偽の証明は不可能なのですね。 回答者さまの文章は数学が苦手なものでもわかりやすいです。おかげさまで自分なりの答えにたどり着くことができました。