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質問

数列｛an} {bn}をa1=b1=1 an+1=an+4bn bn+1=an+bn　で定めるとき
(1) an+1+αbn+1=β(an+abn)を満たすα　βの組を2組求めよ

(2)数列{an} {bn}の一般項を求めよ

回答No.1

ereserve67 · ベストアンサー

(1)

a_n+4b_n+α(a_n+b_n)=β(a_n+αb_n)

展開してa_n,b_nについて整理して係数比較をすれば

1+α=β
4+α=αβ

故に

4+α=α(1+α)
α^2=4
α=±2∴β=3,-1

(α,β)=(2,3),(-2,-1)

(2)(1)より二通りに変形できます．

a_{n+1}+2b_{n+1}=3(a_n+2b_n)
a_{n+1}-2b_{n+1}=-(a_n-2b_n)

a_1+2b_1=3
a_1-2b_1=-1

より

a_n+2b_n=3^n
a_n-2b_n=(-1)^n

これから

a_n={3^n+(-1)^n}/2
b_n={3^n-(-1)^n}/4