この問題が解けません。

質問

ｎを自然数とし、０＜a＜１としてＳ_n(a)=∫（０→１）|ｘ＾ｎ＋１－ax|dxとおく。
（１）各ｎに対してＳ_ｎ（ａ）を最小とするaの値a_nを求めよ。
（２）（１）で求めたanに対してlim(n→∞）ｎＳ_n(a)を求めよ。
解ける方お願いします。

回答No.2

static_puts · ベストアンサー

(1)
絶対値を外しましょう。
S_n(a)=∫_0^1 |x^(n+1)-ax| dx
は、aによってその絶対値の外れ方が変わりますから、場合分けを行います。

(x^(n+1)ーax)>=0 である場合とは、x^n>=aまたはx=0ですね。
x^nは0から1の間ですから、aが0から1の場合に限り、上の条件が満たされます。
これを元にして、場合分けを考えます。

i)a<0の場合
S_n(a)=∫_0^1 x^(n+1)-ax dx=[x^(n+2)/(n+2)-(a/2)x^2]^1_0=1/(n+2)-a/2
となり、最小値はない(閉区間・aに対して単調減少のため)。

ii)0<=a<=1の場合
x^n=aなる点x'において被積分関数の絶対値内の符号が変わります。0からx'においては符号が0または-です。x'から1においては、符号が0または正です。したがって、
S_n(a)=∫_0^1 x^(n+1)-ax dx
=∫_0^x' (-x^(n+1)+ax) dx + ∫_x'^1 (x^(n+1)-ax) dx
=-x'^(n+2)/(n+2)+(a/2)x'^2-x'^(n+2)/(n+2)+(a/2)x'^2+1/(n+2)-a/2
=-2x'^(n+2)/(n+2)+ax'^2+1/(n+2)-a/2
となります。

x'=a^(1/n)
であるので、これを代入すれば
S_n(a)=-2a^(1+2/n)/(n+2)+a^(1+2/n)-a/2+1/(n+2)
=(n/(n+2))a^(1+2/n)-a/2+1/(n+2)
となります。この最小値を求めれば良い。

S_n(a)をaで微分しますと
(1+2/n)*(n/(n+2))a^(2/n)-1/2=a^(2/n)-1/2
となります。これが0になる点が極小値ですから(議論を省きました)
a^(2/n)=1/2
a=(1/2)^(n/2)
となります。

iii)a>1の場合
S_n(a)=∫_0^1 -x^(n+1)+ax dx=[-x^(n+2)/(n+2)+(a/2)x^2]^1_0=-1/(n+2)+a/2
となり、最小値はない(閉区間・aに対して単調増加のため)。

以上から、a_n=(1/2)^(n/2)となります。

(2)
代入して計算しましょう。
nS_n(a_n)=n((n/(n+2))(1/2)^((n+2)/2)-(1/2)^(n/2+1)+1/(n+2))
後は極限を取りましょう。第1項・第2項は公比の絶対値が1未満の等比数列がかかっていますから０なので、最後の項だけを考慮し
lim (n to infinite) nS_n(a_n)=1
となります。

お疲れ様でした。

回答No.1

noname#171951

確認ですが、その絶対値の中は

(x^n)+1-ax
(x^(n+1))-ax
x^(n+1-ax)

のうちのどれですか？

(2)は転記ミスしてませんか？

補足

すいませんでした。
(x^(n+1)ーax)です。
(2)はa_nです。