u,s∈Cでsが非整数の時u^sはu=0で非正則

質問

[問]Cを複素数の集合,Zを整数の集合とする。u∈C, s∈C＼Zの時,
u^sはu=0で非正則となる

ことをしめしてます。

[解]
0の任意の開近傍Gを採ってもu∈G＼{0}ではu^sは必ず多価になるので
lim_{C∋h→0}((u+h)^s-u^s)/hが発散する,即ち,u∈G＼{0}の時,u^sは微分不可能.
従って,u^sはu=0で非正則となる。

と解答したのてすが不正確と言われてしまいました。
lim_{h→0}((u+h)^s-u^s)/hが発散する事を計算して示せばいいのかと思いましたが,
lim_{C∋h→0}((u+h)^s-u^s)/hをどのように料理すればいいのか全く分かりません。

どのようにしてlim_{C∋h→0}((u+h)^s-u^s)/hが発散する事を示せばいいのでしょうか?

出来るだけ分かり易くお願い致します。

回答No.2

ramayana · ベストアンサー

こんな欠陥品を出題した教師が悪い。

u^sだけでは、u = 0 の近傍で定義された関数とは言えません。関数でないものに正則かどうかを論ずる余地は、ありません。

お礼

有難うございます。お蔭様でとても参考になりました。

回答No.1

noname#171951

円周γ(t)=(1/2)e^(2πit)（0≦t≦1)
で積分してみてください。

お礼

有難うございます。お蔭様でとても参考になりました。