問題（１）についてのlog［３］ｘ（ｘ－２）の真

質問

数条件でｘ（ｘ－２）>０としてはいけないのは、log［a］xの真数ｘが積で表されているときはその各因数でそれぞれ別に真数条件をとる必要があるってことなんですか？

回答No.1

ereserve67 · ベストアンサー

一般に

log_aM+log_aN=log_aMN

という式があった時，それぞれに真数条件が必要です．

(1)M>0
(2)N>0
(3)MN>0

ただし，(1)かつ(2)⇒(3)が成り立つので(1)，(2)だけで十分です．

もしlog_aMNだけだったら(3)のみでOKです．M<0かつN<0であっても(3)は成り立つからです．

さて，log_3x(x-2)はこれのみというわけではありませんね．この式は

log_3x+log_3(x-2)

を計算して得られたからです．だから，(1)x>0かつ(2)x-2>0が必要なのです．

もし，log_3x(x-2)の真数条件x(x-2)>0だけだと，x<0かつx<2の場合の例x=-1でもOKということになりますが，log_3x，log_3(x-2)にx=-1を代入すると

log_3(-1)
log_3(-3)

という真数が負の対数を考えなくてはなりません．これは少なくとも高校数学ではNGです．

お礼

高校数学は、わざわざ積の状態にしてから各因数で真数条件を決めなくても
よくて、最初の状態（与式）でのそれぞれの対数で真数条件を別々に決めるようにすればいいんですね。

ありがとうございました。

回答No.2

178-tall

「高数」ないし「テスト」的には、log はあくまで実関数。
　log(x) + log(x-2) = log{x(x-2)}
なる式変形には要注意 (使わない、を原則とせよ) なのでしょうね。

「実務」的には、それ利用すべきケースも多くあり、奇異に感じる制約なのかもしれません。

お礼

ありがとうございました。