get out という、句動詞の意味は、ここでは下記の１０に当たります。
http://eow.alc.co.jp/search?q=get+out
アメリカ英語の用法では、例文にもあるように、「有権者を投票所に行かせる」という意味で、具体的には、選挙当日「投票所まで歩けないから」などと言う身体障害の方の家などを回って、「行ってくださるなら乗せて行って上げます」などと戸別訪問して、草の根票を確保する事です。
州や郡によって選挙規定が違いますが、voting right 「選挙権」を行使するようにという中立の勧誘ですと不定冠詞で a 清き「一」票、と言う感じですが、定冠詞 the を使って「その特定の」有権者が持っている票を引き出す、と言う意味にする場合もあります。
ごく一般的に「選挙意識を高め、棄権しないで投票させる」という意味もあります。この場合 Get out the vote だけで独立した文であれば命令文で、例えば○○党の指揮者が、戸別訪問に出る党員に「投票してもらうんだぞ」とハッパをかけている文句とも読めます。
-追記-
気になって、色々調べてみました。
"Get the voters out to the polls."の意味に近いようです。
webの引用ですが、自国の人も、文法的にどうなの？って問いかけをしていました。
pollsは投票所。
有権者を投票所に連れ出す。
みたいな意味ですね。
GOTVと略したりもするようです。
特殊な言い回しなので、若干、俗語に近いのかもしれません。政治用語ともとれますが・・
（しかし、普通にポスターなどにも、書かれていました！？）
get out the voteで、投票に行きましょう！
みたいなノリなのかもしれません。
