関数の微分

質問

関数y=sin-1　1/x　の微分を教えてください。x>1です。

回答No.5

alice_44 · ベストアンサー

補足要求を前提として、
御要望の「解き方並びに答えまで」も一応書いてみましょうか。

問題の sin-1 1/x は、逆三角関数 sin-1 と 1/x の合成関数ですから、
sin-1 の微分、1/x の微分、合成関数の微分の知識を組み合わせればよい。

sin-1 の微分については、sin の定義をどこに置くかしだいで
どうやるのが基本的かは変わってきますが…
高校生なら、sin を既知として、その逆関数と捉えるのが素直でしょう。
# sin-1 y = ∫{1/√(1-y^2)}dy を sin の定義とする流儀も、ワリと
# 有名です。その場合、(d/dy)sin-1 y = 1/√(1-y^2) は自明です。

z = 1/x と置くと、x = 1/z, z = sin y ですから、
合成関数の微分則から dx/dy = (dx/dz)(dz/dy) = (-1/z^2)(cos y).
逆関数の微分則から dy/dx = 1/(dx/dy) = (-z^2)/(cos y) ですが、
この右辺から y, z を消去すると、dy/dx = (-1/x^2)/±√{1-(1/x)^2}
= ±1/{x√(x^2-1)} となります。

結論の式の ± がどちらになるかは、問題中の sin-1 を
どのような値域をとる枝と解釈するかに依ります。
z = sin y は周期関数ですから、y を適当な範囲に制限して一意化しないと
逆関数は定義できません。y = sin-1 z とするとき、
-π/2 ≦ y ≦ π/2 の y を選ぶ sin-1 y、
π/2 ≦ y ≦ (3/2)π の y を選ぶ sin-1 y、
-(11/2)π ≦ y ≦ -(9/2)π の y を選ぶ sin-1 y、…
いろいろな sin-1 y があり、どれを指すのか明示してからでないと
式中で使うことに意味がありません。

黙って sin-1 y と書けば -π/2 ≦ y ≦ π/2 となる sin-1 y のこと…と
決めてかかる人もいますが、不注意または筆不精としか言いようがありません。
# 古代エジプト人は、ナイル河のことを単に「川」と呼んでいましたが。

お礼

ご丁寧な回答ありがとうございます。

間違っていた点が分かりました。

回答No.4

alice_44

←A No.1 補足
そのような趣旨での質問であれば、
貴方の答えを詳しい計算過程つきで書き、できれば
問題集の解答も(こちらは結論だけで十分)添えておく
必要があると思います。

いろいろな可能性がありますが…
(1) 貴方が間違えている場合
正解だけ見ても、どこで間違えたのかを見つけなければ、
次回また同じ間違いを繰り返す可能性が大きい。
計算過程を見せれば、添削ができます。
(2) 貴方も合っている場合
式変形すれば同じになる答えを、見た目の違いから
間違えたと思い込んだ質問は、このサイトでも頻繁です。
(3) 実は、問題集の答えが違っている場合
これも、日常茶飯事です。

いづれにせよ、貴方の答案がなければ話になりません。

お礼

ご回答ありがとうございます。

回答No.3

info22_

#2です。

失礼しました。
問題のx>1を見落としておりました。
A#2では x<-1 の場合も含んでいますので

x>1の場合は以下の部分を差し替えてください。
------------------------------
>　y=sin^(-1)(1/x)　...(1)
>ここで(1)の定義域と問題の条件から [訂正]
>　0<y<π/2　...(2)　　　　　　　　　[訂正]
>　1<x ...(3)　　　　　　　　　 [訂正]
>(1)をsin(y)に戻して
>　sin(y)=1/x ...(4)
>(2)より
>　cos(y)=√(1-(1/x)^2)=√(x^2-1)/x ...(5) [訂正]

>(4)の両辺を xで微分すれば
>　cos(y)y'=-1/x^2
>　y'=-1/(x^2*cos(y))=-1/(x√(x^2 -1) [訂正]
>　∴ y'=-1/(x√(x^2-1) (x＞1)...(答) [訂正]

お礼

ご回答ありがとうございました。

回答No.2

info22_

y=sin^(-1)(1/x)　...(1)
ここで(1)の定義域から
　-π/2≦y≦π/2　...(2)
　x≦-1, 1≦x ...(3)
(1)をsin(y)に戻して
　sin(y)=1/x ...(4)
(2)より
　cos(y)=√(1-(1/x)^2)=√((x^2-1)/x^2) ...(5)

(4)の両辺を xで微分すれば
　cos(y)y'=-1/x^2
　y'=-1/(x^2*cos(y))=-(1/x^2)√(x^2/(x^2 -1))
　∴ y'=-1/√(x^2(x^2-1)) (|x|＞1)...(答)

お礼

ご回答ありがとうございます。

回答No.1

alice_44

x = 1/sin y です。
これの dx/dy なら簡単でしょう？
合成関数の微分を使うだけです。

逆関数の微分は dy/dx = 1/(dx/dy) ですから、
この式にあてはめて計算し、
最後に右辺から y を消去しておきましょう。

お礼

早速の回答ありがとうございます。
基本的な問題なので、解いてみたのですが、教科書の答えと違うものですから、お尋ねしました。
解き方並びに答えまで教えていただけますか？