熱力学の問題

質問

気体定数R(J/kg・K)、比熱比κである理想気体1kgが温度T1(K)、体積V1(m^3)の状態から断熱膨張し、体積がｎ倍になった。
このとき気体が膨張する際に外部に対して行った仕事W(J)を算出する式を求めよ。

という問題なのですが∫pdVをするのでしょうか？
またそのときどのような式になるかもよくわかりません

教えていただきたいです。
よろしくお願いします。

回答No.1

rnakamra · ベストアンサー

> という問題なのですが∫pdVをするのでしょうか？

ここから計算するのが本筋でしょう。
別の方法もあります。これは後述します。

∫pdVを計算するにはpをVの式で表す必要があります。
断熱膨張の場合、理想気体は
p*V^κ:一定
を満たしながら圧力と体積が変化します。
つまり初期状態をp0,V0とすると
p*V^κ=p0*(V0)^κ　→　p=p0*(V0)^κ/V^κ
となります。これをW=∫pdVに入れて計算をすればよい。p0を求めるには状態方程式を使えばよいでしょう。

別の方法として熱力学第1法則を使い仕事を表すこともできます。
気体の内部エネルギーの変化を⊿U,受け取る熱量をQ,外部に対して行った仕事をWとすると
⊿U=Q-W
となります。
今回の問題では断熱変化ですのでQ=0です。つまり
W=-⊿U
となります。
⊿Uを求めればよいのですが、理想気体の場合
U=Cv*T
の関係式から　⊿U=∫d(CvT)=Cv*⊿T となるでしょう。Cvを求めるには比熱比の定義とマイヤーの関係式を用いるとよいでしょう。

お礼

回答ありがとうございます

おかげさまで理解することができました。
ありがとうございました。